Google
Câu hỏi: Cho hai đường thẳng song song ∆1: ax + by + c = 0 và ∆2: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng \(\frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆1
Bước 2: Tính khoảng cách d(M, ∆2) rồi biến đổi biểu thức để chứng minh
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\left( {{x_M};\frac{{ - c - a{x_M}}}{b}} \right)\) thuộc đường thẳng ∆1
Do ∆1 // ∆2 nên \(d({\Delta _1},{\Delta _2}) = d(M,{\Delta _2})\)
Ta có: \(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{\left| {a.{x_M} + b.\frac{{ - c - a{x_M}}}{b} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( = \frac{{\left| {a{x_M} - c - a{x_M} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vậy \(d({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) (ĐPCM)
Bước 1: Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆1
Bước 2: Tính khoảng cách d(M, ∆2) rồi biến đổi biểu thức để chứng minh
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\left( {{x_M};\frac{{ - c - a{x_M}}}{b}} \right)\) thuộc đường thẳng ∆1
Do ∆1 // ∆2 nên \(d({\Delta _1},{\Delta _2}) = d(M,{\Delta _2})\)
Ta có: \(d(M,{\Delta _2}) = \frac{{\left| {a.{x_M} + b.\frac{{ - c - a{x_M}}}{b} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)\( = \frac{{\left| {a{x_M} - c - a{x_M} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vậy \(d({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) (ĐPCM)