Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai trong số các số phức z thỏa mãn $\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2$. Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng:
A. 4.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. 3.
A. 4.
B. $2\sqrt{3}$.
C. $3\sqrt{2}$.
D. 3.
Gọi $T\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi$, $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-i\sqrt{2}-1 \right|=1\Leftrightarrow \left| z-1-i\sqrt{2} \right|=1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}=1$.
Quỹ tích điểm T biểu diễn z thuộc đường tròn tâm $I\left( 1;\sqrt{2} \right)$, bán kính $R=1$. Gọi M, N là điểm biểu diễn ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ nên $MN=2$ là đường kính.
Dựng hình bình hành OMPN ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=OP=2\sqrt{3}$.
Ta có ${{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}\le 2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\le 4$.
Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng 4. Dấu "=" xảy ra khi $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ suy ra OMPN là hình thoi.
Ta có $\left| iz+\sqrt{2}-i \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-i\sqrt{2}-1 \right|=1\Leftrightarrow \left| z-1-i\sqrt{2} \right|=1\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}=1$.
Quỹ tích điểm T biểu diễn z thuộc đường tròn tâm $I\left( 1;\sqrt{2} \right)$, bán kính $R=1$. Gọi M, N là điểm biểu diễn ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ nên $MN=2$ là đường kính.
Ta có ${{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}\le 2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\le 4$.
Giá trị lớn nhất của $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng 4. Dấu "=" xảy ra khi $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ suy ra OMPN là hình thoi.
Đáp án A.