Google
Câu hỏi: Giả sử số phức $z=-1+i-{{i}^{2}}+{{i}^{3}}-{{i}^{4}}+{{i}^{5}}-{{i}^{6}}+...-{{i}^{98}}+{{i}^{99}}+{{i}^{100}}-2{{i}^{101}}$. Khi đó tổng của phần thựcvà phần ảo của z là
A. 0.
B. -1.
C. -3
D. -2.
A. 0.
B. -1.
C. -3
D. -2.
Ta có: $z=-1+i-{{i}^{2}}+{{i}^{3}}-{{i}^{4}}+{{i}^{5}}-...+{{i}^{99}}+{{i}^{100}}-2{{i}^{101}}$
$=\left( -1+i-{{i}^{2}}+{{i}^{3}}-{{i}^{4}}+{{i}^{5}}-...+{{i}^{99}}-{{i}^{100}} \right)+2{{i}^{100}}-2{{i}^{101}}$
$z=S+2\left( {{i}^{100}}-{{i}^{101}} \right)\left( 1 \right)$
Tính $S=-1+i-{{i}^{2}}+{{i}^{3}}-{{i}^{4}}+{{i}^{5}}-...+{{i}^{99}}-{{i}^{100}}$ là tổng của cấp số nhân với ${{u}_{1}}=-1;q=-i;n=101$
$\Rightarrow S={{u}_{1}}.\dfrac{{{q}^{n}}-1}{q-1}=-1.\dfrac{{{\left( -i \right)}^{101}}-1}{-i-1}=\dfrac{i+1}{-i-1}=-1.$
Tính $2\left( {{i}^{100}}-{{i}^{101}} \right)=2\left( 1-i \right)=2-2i.$
Thế vào (1) ta có $z=-1+\left( 2-2i \right)=1-2i.$
Tổng của phần thực và phần ảo là $1+\left( -2 \right)=-1.$
$=\left( -1+i-{{i}^{2}}+{{i}^{3}}-{{i}^{4}}+{{i}^{5}}-...+{{i}^{99}}-{{i}^{100}} \right)+2{{i}^{100}}-2{{i}^{101}}$
$z=S+2\left( {{i}^{100}}-{{i}^{101}} \right)\left( 1 \right)$
Tính $S=-1+i-{{i}^{2}}+{{i}^{3}}-{{i}^{4}}+{{i}^{5}}-...+{{i}^{99}}-{{i}^{100}}$ là tổng của cấp số nhân với ${{u}_{1}}=-1;q=-i;n=101$
$\Rightarrow S={{u}_{1}}.\dfrac{{{q}^{n}}-1}{q-1}=-1.\dfrac{{{\left( -i \right)}^{101}}-1}{-i-1}=\dfrac{i+1}{-i-1}=-1.$
Tính $2\left( {{i}^{100}}-{{i}^{101}} \right)=2\left( 1-i \right)=2-2i.$
Thế vào (1) ta có $z=-1+\left( 2-2i \right)=1-2i.$
Tổng của phần thực và phần ảo là $1+\left( -2 \right)=-1.$
Đáp án B.