Google
Câu hỏi: Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)={{31}^{x}}+{{3}^{x}}+mx$ trên $\mathbb{R}$ là 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $m\in \left( -10;-5 \right)$.
B. $m\in \left( -5;0 \right)$.
C. $m\in \left( 0;5 \right)$.
D. $m\in \left( 5;10 \right)$.
A. $m\in \left( -10;-5 \right)$.
B. $m\in \left( -5;0 \right)$.
C. $m\in \left( 0;5 \right)$.
D. $m\in \left( 5;10 \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)={{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3+m$.
TH1: Với $m\ge 0\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ ; suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
TH2: Với $m<0$ thì phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3=-m$.
Do hàm số $y={{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Phương trình ${f}'\left( x \right)=-m$ có nghiệm duy nhất $x=a$. Do $m<0$ thì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $, $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $.
Ta có bảng biến thiên cho $f\left( x \right)$
Suy ra $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( a \right)=2$, mặt khác $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow a=0$.
Do đó $-m=31{}^\circ .\ln 31+3{}^\circ .\ln 3\Leftrightarrow m=-\ln 31-\ln 3\approx -4,49$.
TH1: Với $m\ge 0\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ ; suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
TH2: Với $m<0$ thì phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3=-m$.
Do hàm số $y={{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Phương trình ${f}'\left( x \right)=-m$ có nghiệm duy nhất $x=a$. Do $m<0$ thì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty $, $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $.
Ta có bảng biến thiên cho $f\left( x \right)$
Suy ra $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( a \right)=2$, mặt khác $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow a=0$.
Do đó $-m=31{}^\circ .\ln 31+3{}^\circ .\ln 3\Leftrightarrow m=-\ln 31-\ln 3\approx -4,49$.
Đáp án B.