Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên...

Ta có $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{5}{2} \\
& x=1 \\
& x=3. \\
\end{aligned} \right.$
$y'=\left[ f\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right) \right]'=\left( 2x-10 \right)f'\left( {{x}^{2}}-10x+m+9 \right).$
$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=5 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=1 \\
& {{x}^{2}}-10x+m+9=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=5 \\
& g\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+8=0 \left( 1 \right) \\
& h\left( x \right)={{x}^{2}}-10x+m+6=0\left( 2 \right). \\
\end{aligned} \right.$
Rõ ràng phương trình (1) và phương trình (2) không có nghiệm trùng nhau. Do đó yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có 5 nghiệm phân biệt phương trình (1) và phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 5
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\Delta }_{g\left( x \right)}}>0 \\
& {{\Delta }_{h\left( x \right)}}>0 \\
& g\left( 5 \right)\ne 0 \\
& h\left( 5 \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 25-\left( m+8 \right)>0 \\
& 25-\left( m+6 \right)>0 \\
& -25+m+8\ne 0 \\
& -25+m+6\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<17.$
Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.