Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right)=e;f\left( x \right)=f'\left( x \right)\sqrt{3x+1}$, với mọi $x>0$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $10<f\left( 5 \right)<11.$
B. $3<f\left( 5 \right)<4.$
C. $11<f\left( 5 \right)<12.$
D. $4<f\left( 5 \right)<5.$
A. $10<f\left( 5 \right)<11.$
B. $3<f\left( 5 \right)<4.$
C. $11<f\left( 5 \right)<12.$
D. $4<f\left( 5 \right)<5.$
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)=f'\left( x \right)\sqrt{3x+1}\Rightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}} \\
& \Rightarrow \int{\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}\Rightarrow \ln f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 1 \right)=e$ nên $1=\dfrac{4}{3}+C\Rightarrow C=\dfrac{-1}{3}$. Vậy $f\left( 5 \right)={{e}^{\dfrac{7}{3}}}$.
& f\left( x \right)=f'\left( x \right)\sqrt{3x+1}\Rightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}} \\
& \Rightarrow \int{\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}\Rightarrow \ln f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 1 \right)=e$ nên $1=\dfrac{4}{3}+C\Rightarrow C=\dfrac{-1}{3}$. Vậy $f\left( 5 \right)={{e}^{\dfrac{7}{3}}}$.
Đáp án A.