Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thoả mãn
$f\left( 1 \right)=1,f\left( x \right)={f}'\left( x \right).\sqrt{3x+1},$ với mọi $x>0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $2<f\left( 5 \right)<3.$
B. $1<f\left( 5 \right)<2.$
C. $4<f\left( 5 \right)<5.$
D. $3<f\left( 5 \right)<4.$
$f\left( 1 \right)=1,f\left( x \right)={f}'\left( x \right).\sqrt{3x+1},$ với mọi $x>0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $2<f\left( 5 \right)<3.$
B. $1<f\left( 5 \right)<2.$
C. $4<f\left( 5 \right)<5.$
D. $3<f\left( 5 \right)<4.$
Ta có $f\left( x \right)={f}'\left( x \right).\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow \int{\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}$
$\Leftrightarrow \int{\dfrac{d\left( f\left( x \right) \right)}{f\left( x \right)}}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C}}$
Mà $f\left( 1 \right)=1$ nên ${{e}^{\dfrac{4}{3}+C}}=1\Leftrightarrow C=-\dfrac{4}{3}.$ Suy ra $f\left( 5 \right)={{e}^{\dfrac{4}{3}}}\approx 3,794.$
$\Leftrightarrow \int{\dfrac{d\left( f\left( x \right) \right)}{f\left( x \right)}}=\int{\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx}\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C}}$
Mà $f\left( 1 \right)=1$ nên ${{e}^{\dfrac{4}{3}+C}}=1\Leftrightarrow C=-\dfrac{4}{3}.$ Suy ra $f\left( 5 \right)={{e}^{\dfrac{4}{3}}}\approx 3,794.$
Đáp án D.