Giả sử đồ thị hàm số $y=\left( {{m}^{2}}+1...

Ta có: $y^{\prime }=4(m^2+1)x^3-4mx=4x[(m^2+1)x^2-m].$
Cho $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{m^2+1}}}(m>0)\end{array}.$
Khi $m>0$ thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:
$A(-\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{m^2+1}}};-{\displaystyle \frac{m^2}{m^2+1}}+m^2+1),B(0;m^2+1),C(\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{m^2+1}}};-{\displaystyle \frac{m^2}{m^2+1}}+m^2+1).$
Tam giác ABC cân tại B, gọi I là trung điểm của AC.
Khi đó $BI={\displaystyle \frac{m^2}{m^2+1}}.$
Khi quay tam giác ABC quay quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
$V=2.{\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi B{I}^2.IC={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{m^2}{m^2+1}}\right)}^2\sqrt{{\displaystyle \frac{m}{m^2+1}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m^9}{{(m^2+1)}^5}}}$
Xét hàm số $f\left(m\right)={\displaystyle \frac{m^9}{{(m^2+1)}^5}}$, ta có $f^{\prime }\left(m\right)={\displaystyle \frac{m^8(9-m^2)}{{(m^2+1)}^6}}$, với $m>0.$
Cho $f^{\prime }\left(m\right)=0\Rightarrow m=3(m>0).$
Bảng biến thiên của hàm số y = f(m):

Từ bảng biến thiên ta có $maxf\left(m\right)=f\left(3\right).$ Vậy thể tích lớn nhất khi $m=3\in (2;4).$