Google
Câu hỏi: Giả sử đồ thị hàm số $y=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1$ có 3 điểm cực trị A, B, C với ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}<{{x}_{C}}.$ Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. $\left( -2;0 \right).$
B. $\left( 0;2 \right).$
C. $\left( 2;4 \right).$
D. $\left( 4;6 \right).$
Ta có: ${y}'=4\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{3}}-4mx=4x\left[ \left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-m \right].$
Cho ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}}\left( m>0 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Khi $m>0$ thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:
$A\left( -\sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}+{{m}^{2}}+1 \right),B\left( 0;{{m}^{2}}+1 \right),C\left( \sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}+{{m}^{2}}+1 \right).$
Tam giác ABC cân tại B, gọi I là trung điểm của AC.
Khi đó $BI=\dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}.$
Khi quay tam giác ABC quay quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
$V=2.\dfrac{1}{3}.\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{2}{3}\pi B{{I}^{2}}.IC=\dfrac{2}{3}\pi {{\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1} \right)}^{2}}\sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{2}{3}\pi \sqrt{\dfrac{{{m}^{9}}}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{5}}}}$
Xét hàm số $f\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{9}}}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{5}}}$, ta có ${f}'\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{8}}\left( 9-{{m}^{2}} \right)}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{6}}}$, với $m>0.$
Cho ${f}'\left( m \right)=0\Rightarrow m=3\left( m>0 \right).$
Bảng biến thiên của hàm số y = f(m):
Từ bảng biến thiên ta có $\max f\left( m \right)=f\left( 3 \right).$ Vậy thể tích lớn nhất khi $m=3\in \left( 2;4 \right).$
A. $\left( -2;0 \right).$
B. $\left( 0;2 \right).$
C. $\left( 2;4 \right).$
D. $\left( 4;6 \right).$
Ta có: ${y}'=4\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{3}}-4mx=4x\left[ \left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}-m \right].$
Cho ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}}\left( m>0 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Khi $m>0$ thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:
$A\left( -\sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}+{{m}^{2}}+1 \right),B\left( 0;{{m}^{2}}+1 \right),C\left( \sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}+{{m}^{2}}+1 \right).$
Tam giác ABC cân tại B, gọi I là trung điểm của AC.
Khi đó $BI=\dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1}.$
Khi quay tam giác ABC quay quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
$V=2.\dfrac{1}{3}.\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{2}{3}\pi B{{I}^{2}}.IC=\dfrac{2}{3}\pi {{\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}+1} \right)}^{2}}\sqrt{\dfrac{m}{{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{2}{3}\pi \sqrt{\dfrac{{{m}^{9}}}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{5}}}}$
Xét hàm số $f\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{9}}}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{5}}}$, ta có ${f}'\left( m \right)=\dfrac{{{m}^{8}}\left( 9-{{m}^{2}} \right)}{{{\left( {{m}^{2}}+1 \right)}^{6}}}$, với $m>0.$
Cho ${f}'\left( m \right)=0\Rightarrow m=3\left( m>0 \right).$
Bảng biến thiên của hàm số y = f(m):
Từ bảng biến thiên ta có $\max f\left( m \right)=f\left( 3 \right).$ Vậy thể tích lớn nhất khi $m=3\in \left( 2;4 \right).$
Đáp án C.