Google
Câu hỏi: Đường thẳng $(d): y=3 x-1$ cắt đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\dfrac{2 x^2-2 x+3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Tính độ dài $A B$.
A. $A B=2 \sqrt{30}$
B. $A B=4 \sqrt{15}$.
C. $A B=2 \sqrt{15}$.
D. $A B=2 \sqrt{31}$.
A. $A B=2 \sqrt{30}$
B. $A B=4 \sqrt{15}$.
C. $A B=2 \sqrt{15}$.
D. $A B=2 \sqrt{31}$.
Hàm số $y=\dfrac{2 x^2-2 x+3}{x-1}$ có tập xác định $D=\mathbb{R} \backslash\{1\}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{2 x^2-2 x+3}{x-1}=3 x-1 \Leftrightarrow 2 x^2-2 x+3=3 x^2-4 x+1$ $\Leftrightarrow x^2-2 x-2=0(1)$
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_A, x_B$ khác 1 thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}x_A+x_B=2 \\ x_A \cdot x_B=-2\end{array}\right.$.
Vậy $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ với: $A\left(x_A ; 3 x_A-1\right), B\left(x_B ; 3 x_B-1\right)$.
Khi đó độ dài của đoạn $A B$ là: $A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(3 x_B-3 x_A\right)^2}$ $=\sqrt{10\left(x_B-x_A\right)^2}=\sqrt{10\left[\left(x_B+x_A\right)^2-4 x_A x_B\right]}=\sqrt{10(4+8)}=\sqrt{120}=2 \sqrt{30}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{2 x^2-2 x+3}{x-1}=3 x-1 \Leftrightarrow 2 x^2-2 x+3=3 x^2-4 x+1$ $\Leftrightarrow x^2-2 x-2=0(1)$
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_A, x_B$ khác 1 thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}x_A+x_B=2 \\ x_A \cdot x_B=-2\end{array}\right.$.
Vậy $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ với: $A\left(x_A ; 3 x_A-1\right), B\left(x_B ; 3 x_B-1\right)$.
Khi đó độ dài của đoạn $A B$ là: $A B=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(3 x_B-3 x_A\right)^2}$ $=\sqrt{10\left(x_B-x_A\right)^2}=\sqrt{10\left[\left(x_B+x_A\right)^2-4 x_A x_B\right]}=\sqrt{10(4+8)}=\sqrt{120}=2 \sqrt{30}$.
Đáp án A.