Google
Câu hỏi: Đường cong $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị A,B,C lập thành một tam giác đều. Giá trị của m là:
A. $\pm \sqrt{3}$.
B. $\pm \sqrt[6]{3}$.
C. $\pm \sqrt[5]{2}$.
D. $\pm \sqrt[5]{7}$.
A. $\pm \sqrt{3}$.
B. $\pm \sqrt[6]{3}$.
C. $\pm \sqrt[5]{2}$.
D. $\pm \sqrt[5]{7}$.
ĐTHS có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow ab=-2{{m}^{2}}<0\Leftrightarrow m\ne 0.$
Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A(0;1) \\
& B(m;1-{{m}^{4}}) \\
& C(-m;1-{{m}^{4}}) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=(m;-{{m}^{4}}) \\
& \overrightarrow{AC}=(-m;-{{m}^{4}}) \\
& \overrightarrow{BC}=(-2m;0) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}={{m}^{2}}+{{m}^{8}} \\
& B{{C}^{2}}=4{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{m}^{8}}=4{{m}^{2}}\Rightarrow {{m}^{6}}=3\Rightarrow m=\sqrt[6]{3}.$
Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A(0;1) \\
& B(m;1-{{m}^{4}}) \\
& C(-m;1-{{m}^{4}}) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=(m;-{{m}^{4}}) \\
& \overrightarrow{AC}=(-m;-{{m}^{4}}) \\
& \overrightarrow{BC}=(-2m;0) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}={{m}^{2}}+{{m}^{8}} \\
& B{{C}^{2}}=4{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{m}^{8}}=4{{m}^{2}}\Rightarrow {{m}^{6}}=3\Rightarrow m=\sqrt[6]{3}.$
Đáp án B.