Đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y=\dfrac{x+3}{x-1}$ có tâm...

Đồ thị có tâm đối xứng là $I\left( 1;1 \right).$
Với $M\in d$ thì $M\left( m;1-2m \right).$
Từ đồ thị $\left( C \right)$ ta có
$y=\dfrac{x+3}{x-1}\Leftrightarrow y\left( x-1 \right)=x+3\Leftrightarrow xy-y=x+3\Leftrightarrow xy+xy-y-y-x-x-6=0 \left( * \right)$
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ có phương trình dạng
${{\Delta }_{1}}:{{x}_{1}}y+x{{y}_{1}}-y-{{y}_{1}}-x-{{x}_{1}}-6=0$
Vì $M\in {{\Delta }_{1}}$ nên $2m{{x}_{1}}+\left( 1-m \right){{y}_{1}}-m+7=0 \left( 1 \right).$
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ có phương trình dạng
${{\Delta }_{2}}:{{x}_{2}}y+x{{y}_{2}}-y-{{y}_{2}}-x-{{x}_{2}}-6=0$
Vì $M\in {{\Delta }_{2}}$ nên $2m{{x}_{2}}+\left( 1-m \right){{y}_{2}}-m+7=0 \left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng đi qua A, B có phương trình là
$\Delta :2mx+\left( 1-m \right)y-m+7=0 .$
Điểm $K\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ cố định trên $\Delta $ nên $2m{{x}_{0}}+\left( 1-m \right){{y}_{0}}-m+7=0 ,\forall m$
$\Leftrightarrow \left( 2{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-1 \right)m+2{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-1=0,\forall m\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-1=0 \\
& {{y}_{0}}+7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=-3 \\
& {{y}_{0}}=-7 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( -3;-7 \right)$
Vậy $IK=4\sqrt{5}.$