Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=\left| {{x}^{2}}-1...

Ta có: $y=|x^2-1|=\{\begin{array}{rl}& x^2-1,x\le -1\vee x\ge 1\\ & -(x^2-1),-1<x<1\end{array}$ và $y=\left|x\right|+5=\{\begin{array}{rl}& x+5,x\ge 0\\ & -x+5,x<0\end{array}$
Ta có đồ thị




Hoành độ giao điểm dương của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:
$x^2-1=x+5\iff x^2-x-6=0$, cho ta $x=3$.
Do tính chất đối xứng, diện tích S cần tìm bằng hai lần diện tích của S1​, mà S1​ = diện tích hình thang OMNP – I – J, với
$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(-x^2+1)d\text{x}={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x]}_0^1={\displaystyle \frac{2}{3}}$ và $J=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^2-1)d\text{x}={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x]}_1^3={\displaystyle \frac{20}{3}}$ còn diện tích hình thang OMNP là ${\displaystyle \frac{8+5}{2}}\times 3={\displaystyle \frac{39}{2}}$. Do vậy: $S_1={\displaystyle \frac{39}{2}}-{\displaystyle \frac{22}{3}}={\displaystyle \frac{73}{6}}$ (đvdt)
Từ đó, $S={\displaystyle \frac{73}{6}}$