Google
Câu hỏi: Để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left| \sqrt{2x-{{x}^{3}}}-3m+4 \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn:
A. $m=\dfrac{3}{2}.$
B. $m=\dfrac{1}{2}$
C. $m=\dfrac{4}{3}.$
D. $m=\dfrac{5}{3}.$
A. $m=\dfrac{3}{2}.$
B. $m=\dfrac{1}{2}$
C. $m=\dfrac{4}{3}.$
D. $m=\dfrac{5}{3}.$
Gọi $A=\max y.$
Ta đặt $t=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\Rightarrow t=\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ do đó $0\le t\le 1$
Khi đó hàm số được viết lại là $y=\left| t-3m+4 \right|$ với $t\in \left[ 0;1 \right]$ ta suy ra
$A=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} \left| t-3m+4 \right|=\max \left\{ \left| -3m+4 \right|,\left| 5-3m \right| \right\}\ge \dfrac{\left| -3m+4 \right|+\left| 5-3m \right|}{2}$
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:
$\left| -3m+4 \right|+\left| 5-3m \right|=\left| 3m-4 \right|+\left| 5-3m \right|\ge \left| 3m-4+5-3m \right|\ge 1$
Do đó $A\ge \dfrac{1}{2}.$
Đăng thức xảy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left| -3m+4 \right|=\left| 5-3m \right| \\
& \left( -3m+4 \right)\left( 5-3m \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}.$
Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối $\left| a+b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|.$
Phương trình chưa giá trị tuyệt đối: $\left| A \right|=\left| B \right|\Leftrightarrow {{A}^{2}}={{B}^{2}},\left| A \right|=\left| B \right|\Leftrightarrow A=\pm B.$
Nếu $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}} v\grave{a} {{x}_{2}}$. Dùng quy tắc "Trong trái ngoài cùng". Trong khoảng 2 nghiệm thì $f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số a; ngoài khoảng 2 nghiệm thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với a.
Ta đặt $t=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\Rightarrow t=\sqrt{1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$ do đó $0\le t\le 1$
Khi đó hàm số được viết lại là $y=\left| t-3m+4 \right|$ với $t\in \left[ 0;1 \right]$ ta suy ra
$A=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} \left| t-3m+4 \right|=\max \left\{ \left| -3m+4 \right|,\left| 5-3m \right| \right\}\ge \dfrac{\left| -3m+4 \right|+\left| 5-3m \right|}{2}$
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:
$\left| -3m+4 \right|+\left| 5-3m \right|=\left| 3m-4 \right|+\left| 5-3m \right|\ge \left| 3m-4+5-3m \right|\ge 1$
Do đó $A\ge \dfrac{1}{2}.$
Đăng thức xảy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \left| -3m+4 \right|=\left| 5-3m \right| \\
& \left( -3m+4 \right)\left( 5-3m \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}.$
Note101: Phương pháp chung
$\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0.$ Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối $\left| a+b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|.$
Phương trình chưa giá trị tuyệt đối: $\left| A \right|=\left| B \right|\Leftrightarrow {{A}^{2}}={{B}^{2}},\left| A \right|=\left| B \right|\Leftrightarrow A=\pm B.$
Nếu $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}} v\grave{a} {{x}_{2}}$. Dùng quy tắc "Trong trái ngoài cùng". Trong khoảng 2 nghiệm thì $f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số a; ngoài khoảng 2 nghiệm thì $f\left( x \right)$ cùng dấu với a.
Đáp án A.