Để đồ thị của hàm số $y=\dfrac{\tan x-2}{\tan x-m}$ đồng biến trên...

Đặt $t=\tan x$, vì $x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right)$ và dễ thấy $t=\tan x$ đồng biến trên $\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$. Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{t-2}{t-m}\forall t\in \left( 0;1 \right)$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$. Ta có: ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}$. Hàm số y đồng biến trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ khi và chỉ khi ${f}'\left( t \right)>0\forall t\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{2-m}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}>0\forall t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-m>0 \\
& m\notin \left( 0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 1;2 \right) \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$