Google
Câu hỏi: Đặt điện áp $u=120 \cos \left(100 \pi t-\dfrac{\pi}{6}\right)(V)$ vào hai đầu đoạn mạch $A B$ mắc nối tiếp gồm: tụ điện có điện dung $C$ thay đổi được; cuộn dây có độ tự cảm $L$ và điện trở $r$ ; điện trở $R$ với $R=2 \mathrm{r}$ như hình bên.
Khi $C=C_0$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch AN đạt cực tiểu. Khi $C=\dfrac{C_0}{4}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch $\mathrm{AM}$ đạt cực đại và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch $\mathrm{MN}$ là $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}$. Biểu thức $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}$ là
A. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)(\mathrm{V})$.
B. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \sqrt{3} \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{\pi}{2}\right)(\mathrm{V})$.
C. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \sqrt{3} \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)(\mathrm{V})$.
D. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{\pi}{2}\right)(\mathrm{V})$.
A. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)(\mathrm{V})$.
B. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \sqrt{3} \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{\pi}{2}\right)(\mathrm{V})$.
C. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \sqrt{3} \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)(\mathrm{V})$.
D. $\mathrm{u}_{\mathrm{MN}}=40 \cos \left(100 \pi \mathrm{t}+\dfrac{\pi}{2}\right)(\mathrm{V})$.
${{U}_{AN}}=\dfrac{U\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C0}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C0}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C0}} \right)}^{2}}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+2Rr+{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C0}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U}{\sqrt{\dfrac{{{R}^{2}}+2Rr}{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C0}} \right)}^{2}}}+1}}$
$\Rightarrow {{U}_{AN}}\min $ khi ${{Z}_{L}}-{{Z}_{C0}}=0\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{C0}}=1$ (chuẩn hóa)
${{U}_{C}}=\dfrac{U{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{\left( 3r \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\to $ shift solve đạo hàm với ${{Z}_{C}}=4{{Z}_{C0}}=4$
$\Rightarrow r\approx 0,57735$
${{u}_{MN}}=u.\dfrac{r+{{Z}_{L}}j}{R+r+\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)j}=\left( 120\angle \dfrac{-\pi }{6} \right).\dfrac{0,57735+j}{3.0,57735+\left( 1-4 \right)j}=40\angle \dfrac{\pi }{2}$.
Chú ý: Có thể dùng công thức cực trị ${{U}_{C\max }}\to {{Z}_{C}}={{Z}_{L}}+\dfrac{{{\left( R+r \right)}^{2}}}{{{Z}_{L}}}$
$\Rightarrow {{U}_{AN}}\min $ khi ${{Z}_{L}}-{{Z}_{C0}}=0\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{C0}}=1$ (chuẩn hóa)
${{U}_{C}}=\dfrac{U{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{\left( R+r \right)}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\dfrac{U{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{\left( 3r \right)}^{2}}+{{\left( 1-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}\to $ shift solve đạo hàm với ${{Z}_{C}}=4{{Z}_{C0}}=4$
${{u}_{MN}}=u.\dfrac{r+{{Z}_{L}}j}{R+r+\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)j}=\left( 120\angle \dfrac{-\pi }{6} \right).\dfrac{0,57735+j}{3.0,57735+\left( 1-4 \right)j}=40\angle \dfrac{\pi }{2}$.
Chú ý: Có thể dùng công thức cực trị ${{U}_{C\max }}\to {{Z}_{C}}={{Z}_{L}}+\dfrac{{{\left( R+r \right)}^{2}}}{{{Z}_{L}}}$
Đáp án D.