Google
Câu hỏi: Con lắc lò xo gồm vật $m$ đặt trên $M$ và lò xo có độ cứng $k$. Khi hệ đang cân bằng, đưa hệ vật nén lò xo xuống thêm một đoạn rồi buông nhẹ. Chọn trục $\mathrm{Ox}$ có phương thẳng đứng chiều lên trên, gốc 0 tại vị trí cân bằng ban đầu. Hình bên là đồ thị mô tả sự phụ thuộc công suất tức thời của phản lực tác dụng lên vật $\mathrm{m}$ và công suất tức thời của lực đàn hồi tác dụng lên $\mathrm{M}$ theo li độ $\mathrm{x}$ từ lúc thả hệ đến lúc vật $\mathrm{M}$ đổi chiều lần thứ nhất.
Lấy $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. Biết $\mathrm{P}_2=4 \mathrm{P}_1 ; \mathrm{OA}=\mathrm{AB}$. Khoảng cách giữa vật $M$ và $m$ khi $M$ lên đến vị trí cao nhất có giá trị bằng
A. $1,17 \mathrm{~cm}$.
B. $2,12 \mathrm{~cm}$.
C. $2,44 \mathrm{~cm}$.
D. $1,54 \mathrm{~cm}$
A. $1,17 \mathrm{~cm}$.
B. $2,12 \mathrm{~cm}$.
C. $2,44 \mathrm{~cm}$.
D. $1,54 \mathrm{~cm}$
$\left\{ \begin{aligned}
& N-mg=ma \\
& {{F}_{dh}}-\left( M+m \right)g=\left( M+m \right)a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& N=m\left( g+a \right) \\
& {{F}_{dh}}=\left( M+m \right)\left( g+a \right) \\
\end{aligned} \right. $ với $ a=-{{\omega }^{2}}x=-\dfrac{gx}{\Delta {{l}_{0}}}$
${{P}_{2}}=4{{P}_{1}}\Rightarrow {{F}_{dh}}v=4Nv\Rightarrow M+m=4m\Rightarrow M=3m$
$Nv=m\left( g-\dfrac{gx}{\Delta {{l}_{0}}} \right)\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt max khi $\left( 1-\dfrac{x}{\Delta {{l}_{0}}} \right)\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt max (*)
Tại vị trí lò xo không biến dạng (điểm A trên đồ thị) thì vật m bị ném lên thẳng đứng, còn vật M dao động điều hòa với vtcb mới O’ có $\dfrac{\Delta {{l}_{0}}'}{\Delta {{l}_{0}}}=\dfrac{M}{M+m}=0,75\Rightarrow \Delta {{l}_{0}}'=0,75\Delta {{l}_{0}}$
Theo đề bài thì $OA=AB\Rightarrow \Delta {{l}_{0}}=A'-0,75\Delta {{l}_{0}}\Rightarrow A'=1,75\Delta {{l}_{0}}$
${{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-\Delta l_{0}^{2} \right)=\omega {{'}^{2}}\left( A{{'}^{2}}-\Delta {{l}_{0}}{{'}^{2}} \right)\Rightarrow \dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}}\left( {{A}^{2}}-\Delta l_{0}^{2} \right)=\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}'}\left[ {{\left( 1,75\Delta {{l}_{0}} \right)}^{2}}-{{\left( 0,75\Delta {{l}_{0}} \right)}^{2}} \right]$
$\Rightarrow {{A}^{2}}-\Delta l_{0}^{2}=\dfrac{1}{0,75}.2,5\Delta l_{0}^{2}\Rightarrow {{A}^{2}}=\dfrac{13}{3}\Delta l_{0}^{2}\Rightarrow A=\dfrac{\sqrt{39}}{3}\Delta {{l}_{0}}$
Thay lại vào (*) được $\left( 1-\dfrac{x}{\Delta {{l}_{0}}} \right)\sqrt{\dfrac{13}{3}\Delta l_{0}^{2}-{{x}^{2}}}$ $\to $ shift solve đạo hàm với $x=1-\sqrt{33}$
$\Rightarrow \Delta {{l}_{0}}\approx 3,817cm\to v\approx 112,8cm/s$
$t=\dfrac{\alpha }{\omega '}=\dfrac{\arccos \dfrac{\Delta {{l}_{0}}'}{A'}}{\sqrt{\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}'}}}=\dfrac{\arccos \dfrac{0,75}{1,75}}{\sqrt{\dfrac{1000}{0,75.3,817}}}\approx 0,0603s$
$d=-\Delta {{l}_{0}}+vt-\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}=-3,817+112,8.0,0603-\dfrac{1}{2}.1000.0,{{0603}^{2}}\approx 1,17cm$.
& N-mg=ma \\
& {{F}_{dh}}-\left( M+m \right)g=\left( M+m \right)a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& N=m\left( g+a \right) \\
& {{F}_{dh}}=\left( M+m \right)\left( g+a \right) \\
\end{aligned} \right. $ với $ a=-{{\omega }^{2}}x=-\dfrac{gx}{\Delta {{l}_{0}}}$
${{P}_{2}}=4{{P}_{1}}\Rightarrow {{F}_{dh}}v=4Nv\Rightarrow M+m=4m\Rightarrow M=3m$
$Nv=m\left( g-\dfrac{gx}{\Delta {{l}_{0}}} \right)\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt max khi $\left( 1-\dfrac{x}{\Delta {{l}_{0}}} \right)\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt max (*)
Tại vị trí lò xo không biến dạng (điểm A trên đồ thị) thì vật m bị ném lên thẳng đứng, còn vật M dao động điều hòa với vtcb mới O’ có $\dfrac{\Delta {{l}_{0}}'}{\Delta {{l}_{0}}}=\dfrac{M}{M+m}=0,75\Rightarrow \Delta {{l}_{0}}'=0,75\Delta {{l}_{0}}$
${{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-\Delta l_{0}^{2} \right)=\omega {{'}^{2}}\left( A{{'}^{2}}-\Delta {{l}_{0}}{{'}^{2}} \right)\Rightarrow \dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}}\left( {{A}^{2}}-\Delta l_{0}^{2} \right)=\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}'}\left[ {{\left( 1,75\Delta {{l}_{0}} \right)}^{2}}-{{\left( 0,75\Delta {{l}_{0}} \right)}^{2}} \right]$
$\Rightarrow {{A}^{2}}-\Delta l_{0}^{2}=\dfrac{1}{0,75}.2,5\Delta l_{0}^{2}\Rightarrow {{A}^{2}}=\dfrac{13}{3}\Delta l_{0}^{2}\Rightarrow A=\dfrac{\sqrt{39}}{3}\Delta {{l}_{0}}$
Thay lại vào (*) được $\left( 1-\dfrac{x}{\Delta {{l}_{0}}} \right)\sqrt{\dfrac{13}{3}\Delta l_{0}^{2}-{{x}^{2}}}$ $\to $ shift solve đạo hàm với $x=1-\sqrt{33}$
$t=\dfrac{\alpha }{\omega '}=\dfrac{\arccos \dfrac{\Delta {{l}_{0}}'}{A'}}{\sqrt{\dfrac{g}{\Delta {{l}_{0}}'}}}=\dfrac{\arccos \dfrac{0,75}{1,75}}{\sqrt{\dfrac{1000}{0,75.3,817}}}\approx 0,0603s$
$d=-\Delta {{l}_{0}}+vt-\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}=-3,817+112,8.0,0603-\dfrac{1}{2}.1000.0,{{0603}^{2}}\approx 1,17cm$.
Đáp án A.
