Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình...

Điều kiện: x > 0
Biến đổi phương trình tương đương: $2^{x^2+2x+m}+x^2+2x+m=2^{10x-6\ln x}+10x-6\ln x$
Đặt $\{\begin{array}{rl}& u=x^2+2x+m\\ & v=10x-6\ln x\end{array}$, khi đó phương trình có dạng:
$2^u+u=2^v+v\iff f\left(u\right)=f\left(v\right)$ với $f\left(t\right)=2^t+1$ là hàm số đồng biến
$\iff u=v\iff x^2+2x+m=10x-6\ln x\iff m=-x^2+8x-6\ln x=g\left(x\right)$ với $x>0$
Ta có: $g^{\prime }\left(x\right)=-2x+8-{\displaystyle \frac{6}{x}}={\displaystyle \frac{-2(x^2-4x+3)}{x}}$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=3\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi:
$7<m<15-6\ln 3\approx 8,4\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m=8$