Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+2x+m}}-{{4}^{5x-3\ln x}}+{{x}^{2}}-8x+m+6\ln x=0$
có ba nghiệm thực phân biệt?
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
có ba nghiệm thực phân biệt?
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Điều kiện: x > 0
Biến đổi phương trình tương đương: ${{2}^{{{x}^{2}}+2x+m}}+{{x}^{2}}+2x+m={{2}^{10x-6\ln x}}+10x-6\ln x$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}}+2x+m \\
& v=10x-6\ln x \\
\end{aligned} \right.$, khi đó phương trình có dạng:
${{2}^{u}}+u={{2}^{v}}+v\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$ với $f\left( t \right)={{2}^{t}}+1$ là hàm số đồng biến
$\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+m=10x-6\ln x\Leftrightarrow m=-{{x}^{2}}+8x-6\ln x=g\left( x \right)$ với $x>0$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-2x+8-\dfrac{6}{x}=\dfrac{-2\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)}{x}$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi:
$7<m<15-6\ln 3\approx 8,4\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m=8$
Biến đổi phương trình tương đương: ${{2}^{{{x}^{2}}+2x+m}}+{{x}^{2}}+2x+m={{2}^{10x-6\ln x}}+10x-6\ln x$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}}+2x+m \\
& v=10x-6\ln x \\
\end{aligned} \right.$, khi đó phương trình có dạng:
${{2}^{u}}+u={{2}^{v}}+v\Leftrightarrow f\left( u \right)=f\left( v \right)$ với $f\left( t \right)={{2}^{t}}+1$ là hàm số đồng biến
$\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+m=10x-6\ln x\Leftrightarrow m=-{{x}^{2}}+8x-6\ln x=g\left( x \right)$ với $x>0$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=-2x+8-\dfrac{6}{x}=\dfrac{-2\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)}{x}$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi:
$7<m<15-6\ln 3\approx 8,4\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m=8$
Đáp án B.