Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y\in \left[ -2022 ; 2022 \right]$ để với mỗi $y$ nguyên có không quá $400$ giá trị $x$ nguyên dương thỏa mãn ${{\log }_{2023}}{{\left( x+2y \right)}^{2022\left( x-1 \right)}}-{{x}^{2}}+2x-2xy+2y>1$ ?
A. $1210$.
B. $1212$.
C. $1211$.
D. $1214$.
Ta có: ${{\log }_{2023}}{{\left( x+2y \right)}^{2022\left( x-1 \right)}}-{{x}^{2}}+2x-2xy+2y>1 \left( 1 \right)$
Trường hợp 1: Nếu $x=1$, bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: ${{\log }_{2023}}{{\left( 1+2y \right)}^{0}}-{{1}^{2}}+2-2y+2y>1\Leftrightarrow 1>1$ (vô lý)
Trường hợp 2: Nếu $x\ge 2$
Bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2022\left( x-1 \right){{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-{{x}^{2}}+2x-2xy+2y-1>0$ $\Leftrightarrow 2022\left( x-1 \right){{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-\left( x-1 \right)\left( x+2y-1 \right)>0$ $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ 2022{{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-\left( x+2y \right)+1 \right]>0$ $\Leftrightarrow 2022{{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-\left( x+2y \right)+1>0 \left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2022{{\log }_{2023}}t-t+1\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{2022}{t\ln 2023}-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2022}{\ln 2023}\approx 265,6$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên xảy ra các khả năng sau:
Khả năng 1: $y\le 0$
Bất phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 2022{{\log }_{2023}}\left( -x-2y \right)+\left( -x-2y \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x+2y>0 \\
& 2022{{\log }_{2023}}\left( x+2y \right)-\left( x+2y \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 1<x+2y<2023 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 1-2y<x<2023-2y \\
\end{aligned} \right.$
Với $1-2y<x<2023-2y$ kết hợp với điều kiện $x\ge 2 ; y\le 0$ thì $1-2y<x<2023-2y$ luôn có $2021$ giá trị $x$ nguyên dương thỏa mãn (vô lý).
Khả năng 2: $y>0$
BPT $\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2022{{\log }_{2023}}\left( x+2y \right)-\left( x+2y \right)+1>0\Leftrightarrow 1<x+2y<2023\Leftrightarrow 1-2y<x<2023-2y$ Kết hợp điều kiện $x\ge 2 ; y>0$ suy ra $2\le x<2023-2y$.
Để không quá $400$ giá trị $x$ nguyên dương thỏa mãn thì $2023-2y<402\Leftrightarrow y>\dfrac{1621}{2}$.
Mà $y\in \mathbb{Z}$ và $y\in \left[ -2022 ; 2022 \right]$ suy ra $811\le y\le 2022$
Vậy có tất cả $1212$ giá trị $y$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A. $1210$.
B. $1212$.
C. $1211$.
D. $1214$.
Ta có: ${{\log }_{2023}}{{\left( x+2y \right)}^{2022\left( x-1 \right)}}-{{x}^{2}}+2x-2xy+2y>1 \left( 1 \right)$
Trường hợp 1: Nếu $x=1$, bất phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: ${{\log }_{2023}}{{\left( 1+2y \right)}^{0}}-{{1}^{2}}+2-2y+2y>1\Leftrightarrow 1>1$ (vô lý)
Trường hợp 2: Nếu $x\ge 2$
Bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2022\left( x-1 \right){{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-{{x}^{2}}+2x-2xy+2y-1>0$ $\Leftrightarrow 2022\left( x-1 \right){{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-\left( x-1 \right)\left( x+2y-1 \right)>0$ $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ 2022{{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-\left( x+2y \right)+1 \right]>0$ $\Leftrightarrow 2022{{\log }_{2023}}\left| x+2y \right|-\left( x+2y \right)+1>0 \left( 2 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2022{{\log }_{2023}}t-t+1\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{2022}{t\ln 2023}-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2022}{\ln 2023}\approx 265,6$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Khả năng 1: $y\le 0$
Bất phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 2022{{\log }_{2023}}\left( -x-2y \right)+\left( -x-2y \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x+2y>0 \\
& 2022{{\log }_{2023}}\left( x+2y \right)-\left( x+2y \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 1<x+2y<2023 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 1-2y<x<2023-2y \\
\end{aligned} \right.$
Với $1-2y<x<2023-2y$ kết hợp với điều kiện $x\ge 2 ; y\le 0$ thì $1-2y<x<2023-2y$ luôn có $2021$ giá trị $x$ nguyên dương thỏa mãn (vô lý).
Khả năng 2: $y>0$
BPT $\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2022{{\log }_{2023}}\left( x+2y \right)-\left( x+2y \right)+1>0\Leftrightarrow 1<x+2y<2023\Leftrightarrow 1-2y<x<2023-2y$ Kết hợp điều kiện $x\ge 2 ; y>0$ suy ra $2\le x<2023-2y$.
Để không quá $400$ giá trị $x$ nguyên dương thỏa mãn thì $2023-2y<402\Leftrightarrow y>\dfrac{1621}{2}$.
Mà $y\in \mathbb{Z}$ và $y\in \left[ -2022 ; 2022 \right]$ suy ra $811\le y\le 2022$
Vậy có tất cả $1212$ giá trị $y$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.