Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $y\in \left[ -2022 ; 2022...

Ta có:
Trường hợp 1: Nếu , bất phương trình trở thành: (vô lý)
Trường hợp 2: Nếu
Bất phương trình
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên xảy ra các khả năng sau:
Khả năng 1:
Bất phương trình $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 2022{{\log }_{2023}}\left( -x-2y \right)+\left( -x-2y \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x+2y>0 \\
& 2022{{\log }_{2023}}\left( x+2y \right)-\left( x+2y \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 1<x+2y<2023 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+2y<0 \\
& 1-2y<x<2023-2y \\
\end{aligned} \right.1-2y<x<2023-2yx\ge 2 ; y\le 01-2y<x<2023-2y2021xy>0\left( 2 \right)\Leftrightarrow 2022{{\log }_{2023}}\left( x+2y \right)-\left( x+2y \right)+1>0\Leftrightarrow 1<x+2y<2023\Leftrightarrow 1-2y<x<2023-2yx\ge 2 ; y>02\le x<2023-2y400x2023-2y<402\Leftrightarrow y>\dfrac{1621}{2}y\in \mathbb{Z}y\in \left[ -2022 ; 2022 \right]811\le y\le 20221212y$ nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.