Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để tồn tại không quá 728 giá trị nguyên của $y$ sao cho thỏa mãn bất phương trình ${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}\left( x+y \right)$ ?
A. $116$.
B. $115$.
C. $56$.
D. $55$.
${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{4}^{{{\log }_{3}}\left( x+y \right)}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\ge {{4}^{{{\log }_{3}}\left( x+y \right)}}-\left( x+y \right)$ (*)
Đặt $t=x+y$. Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{4}^{{{\log }_{3}}t}}-t$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}{{4}^{{{\log }_{3}}t}}-1>0$ với mọi $t\ge 1$ $\left( t\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right)$
Từ đó ta suy ra bất phương trình (*) tương đương với: $1\le x+y\le {{f}^{-1}}\left( {{x}^{2}}-x \right)$
Ta có nhận xét sau: khi giá trị nguyên của $y$ không quá 728 thì giá trị nguyên của $t=x+y$ cũng không quá 728 giá trị, tức $1\le x+y\le {{f}^{-1}}\left( {{x}^{2}}-x \right)\le 728\Leftrightarrow {{f}^{-1}}\left( {{x}^{2}}-x \right)\le 728\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\le f\left( 728 \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-x\le {{4}^{{{\log }_{3}}728}}-728\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-{{4}^{{{\log }_{3}}728}}+728\le 0\Leftrightarrow -57.47\le x\le 58.475$
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên bất phương trình tương đương với: $-57\le x\le 58$ tức có tất cả $58-\left( -57 \right)+1=116$ giá trị nguyên $x$ sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.
A. $116$.
B. $115$.
C. $56$.
D. $55$.
Đầu tiên, với $x,y\in \mathbb{Z}$ ta có:${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{4}^{{{\log }_{3}}\left( x+y \right)}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\ge {{4}^{{{\log }_{3}}\left( x+y \right)}}-\left( x+y \right)$ (*)
Đặt $t=x+y$. Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{4}^{{{\log }_{3}}t}}-t$ có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}{{4}^{{{\log }_{3}}t}}-1>0$ với mọi $t\ge 1$ $\left( t\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \right)$
Từ đó ta suy ra bất phương trình (*) tương đương với: $1\le x+y\le {{f}^{-1}}\left( {{x}^{2}}-x \right)$
Ta có nhận xét sau: khi giá trị nguyên của $y$ không quá 728 thì giá trị nguyên của $t=x+y$ cũng không quá 728 giá trị, tức $1\le x+y\le {{f}^{-1}}\left( {{x}^{2}}-x \right)\le 728\Leftrightarrow {{f}^{-1}}\left( {{x}^{2}}-x \right)\le 728\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\le f\left( 728 \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-x\le {{4}^{{{\log }_{3}}728}}-728\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-{{4}^{{{\log }_{3}}728}}+728\le 0\Leftrightarrow -57.47\le x\le 58.475$
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên bất phương trình tương đương với: $-57\le x\le 58$ tức có tất cả $58-\left( -57 \right)+1=116$ giá trị nguyên $x$ sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án A.