Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -23;0 \right)$ sao cho hàm số
$f\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-8 \right){{\text{e}}^{x}}-m{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-9m \right)x+2023$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 2;5 \right)$ ?
A. $21$.
B. $19$.
C. $14$.
D. $8$.
$f\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-8 \right){{\text{e}}^{x}}-m{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-9m \right)x+2023$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 2;5 \right)$ ?
A. $21$.
B. $19$.
C. $14$.
D. $8$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-8 \right){{e}^{x}}-2mx-\left( {{m}^{2}}-9m \right)$.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 2;5 \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-8 \right){{e}^{x}}-2mx-\left( {{m}^{2}}-9m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-8 \right){{e}^{x}}-2mx-\left( {{m}^{2}}-9m \right)$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)=\left( 4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}} \right){{e}^{x}}+\left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-8 \right){{e}^{x}}-2m=\left( {{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-8 \right){{e}^{x}}-2m$.
Ta có ${{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-8={{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+8\left( {{x}^{3}}-1 \right)>0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$ và $-2m>0,\forall m\in \left( -23;0 \right)$
Nên ${g}'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-8 \right){{e}^{x}}-2m>0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 2;5 \right)$, từ đó ta có tập giá trị của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( 2;5 \right)$ là $\left( g\left( 2 \right);g\left( 5 \right) \right)$.
Vậy $g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 2;5 \right)\Leftrightarrow g\left( 2 \right)\ge 0$ hay $40{{e}^{2}}-{{m}^{2}}+5m\ge 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{5-\sqrt{25+160{{e}^{2}}}}{2}\le m\le \dfrac{5+\sqrt{25+160{{e}^{2}}}}{2}$
Do $m\in \left( -23;0 \right)$ nên $m\in \left\{ -14;-15;......;-2;-1 \right\}$
Vậy có tất cả 14 giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -23;0 \right)$ thỏa mãn.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 2;5 \right)$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-8 \right){{e}^{x}}-2mx-\left( {{m}^{2}}-9m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-8 \right){{e}^{x}}-2mx-\left( {{m}^{2}}-9m \right)$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)=\left( 4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}} \right){{e}^{x}}+\left( {{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-8 \right){{e}^{x}}-2m=\left( {{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-8 \right){{e}^{x}}-2m$.
Ta có ${{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-8={{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+8\left( {{x}^{3}}-1 \right)>0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$ và $-2m>0,\forall m\in \left( -23;0 \right)$
Nên ${g}'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}+8{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-8 \right){{e}^{x}}-2m>0,\forall x\in \left( 2;5 \right)$
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 2;5 \right)$, từ đó ta có tập giá trị của hàm số $g\left( x \right)$ trên $\left( 2;5 \right)$ là $\left( g\left( 2 \right);g\left( 5 \right) \right)$.
Vậy $g\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 2;5 \right)\Leftrightarrow g\left( 2 \right)\ge 0$ hay $40{{e}^{2}}-{{m}^{2}}+5m\ge 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{5-\sqrt{25+160{{e}^{2}}}}{2}\le m\le \dfrac{5+\sqrt{25+160{{e}^{2}}}}{2}$
Do $m\in \left( -23;0 \right)$ nên $m\in \left\{ -14;-15;......;-2;-1 \right\}$
Vậy có tất cả 14 giá trị nguyên của tham số $m\in \left( -23;0 \right)$ thỏa mãn.
Đáp án C.