Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{4}^{{{x}^{2}}}}-{{3.2}^{{{x}^{2}}+1}}+m-3=0$ có 4 nghiệm phân biệt?
A. 3
B. 9
C. 12
D. 4
A. 3
B. 9
C. 12
D. 4
Ta có : $PT\Leftrightarrow {{4}^{{{x}^{2}}}}-{{6.2}^{{{x}^{2}}}}+m-3=0$
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}}}$, do ${{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow t\ge {{2}^{0}}=1$
Với $t=1\Rightarrow x=0$, với $t>1$ thì một giá trị của t có hai giá trị của x
Khi đó phương trình trở thành : ${{t}^{2}}-6t+m-3=0\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}+6t+3=f\left( t \right)$
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left( t \right)=m$ phải có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>1$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+3$ trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ ta có : ${f}'\left( t \right)=-2t+6=0\Leftrightarrow t=3$
Mặt khác $\underset{t\to 1}{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=8,f\left( 3 \right)=12,\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=-\infty $
Dựa vào BBT suy ra PT có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow m\in \left( 8;12 \right)$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 3 giá trị của m .
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}}}$, do ${{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow t\ge {{2}^{0}}=1$
Với $t=1\Rightarrow x=0$, với $t>1$ thì một giá trị của t có hai giá trị của x
Khi đó phương trình trở thành : ${{t}^{2}}-6t+m-3=0\Leftrightarrow m=-{{t}^{2}}+6t+3=f\left( t \right)$
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left( t \right)=m$ phải có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}}>{{t}_{2}}>1$
Xét hàm số $f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+3$ trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ ta có : ${f}'\left( t \right)=-2t+6=0\Leftrightarrow t=3$
Mặt khác $\underset{t\to 1}{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=8,f\left( 3 \right)=12,\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=-\infty $
Dựa vào BBT suy ra PT có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow m\in \left( 8;12 \right)$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 3 giá trị của m .
Đáp án A.