Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{3}^{x+y}}-{{x}^{2}}\left( {{3}^{x}}-1 \right)=\left( x+1 \right){{3}^{y}}-{{x}^{3}}$, với $x<2020$ ?
A. 13
B. 15
C. 6
D. 7
A. 13
B. 15
C. 6
D. 7
Phương trình đã cho trở thành: ${{3}^{x}}{{.3}^{y}}-{{x}^{2}}{{.3}^{x}}+{{x}^{2}}=x{{.3}^{y}}+{{3}^{y}}-{{x}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}.\left( {{3}^{y}}-{{x}^{2}} \right)={{3}^{y}}-{{x}^{2}}+x.\left( {{3}^{y}}-{{x}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left( {{3}^{y}}-{{x}^{2}} \right).\left( {{3}^{x}}+x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{3}^{y}}-{{x}^{2}}=0 \\
& {{3}^{x}}=x+1 \\
\end{aligned} \right.$
+ Phương trình ${{3}^{x}}=x+1$ có hai nghiệm: $x=0, x=1$
+ Ta có ${{3}^{y}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{{{3}^{y}}}$ mà $1\le x<2020\to 1\le y\le {{\log }_{3}}{{2020}^{2}}$
Suy ra $y\in \left[ 1;13 \right]$. Thử lại từng giá trị của y, ta được 6 số nguyên x.
Vậy có tất cả 6 cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bài toán.
$\Leftrightarrow {{3}^{x}}.\left( {{3}^{y}}-{{x}^{2}} \right)={{3}^{y}}-{{x}^{2}}+x.\left( {{3}^{y}}-{{x}^{2}} \right)\Leftrightarrow \left( {{3}^{y}}-{{x}^{2}} \right).\left( {{3}^{x}}+x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{3}^{y}}-{{x}^{2}}=0 \\
& {{3}^{x}}=x+1 \\
\end{aligned} \right.$
+ Phương trình ${{3}^{x}}=x+1$ có hai nghiệm: $x=0, x=1$
+ Ta có ${{3}^{y}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{{{3}^{y}}}$ mà $1\le x<2020\to 1\le y\le {{\log }_{3}}{{2020}^{2}}$
Suy ra $y\in \left[ 1;13 \right]$. Thử lại từng giá trị của y, ta được 6 số nguyên x.
Vậy có tất cả 6 cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.