Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương $n,k$ biết $n<20$ và các số $C_{n}^{k-1},C_{n}^{k},C_{n}^{k+1}$ theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng.
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Các số $C_{n}^{k-1},{{z}_{2}}=b,C_{n}^{k+1}$ theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng nên ta có: $\Leftrightarrow \dfrac{n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}+\dfrac{n!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k+1 \right)!}=2\dfrac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{k\left( k+1 \right)}+\dfrac{1}{\left( n-k+1 \right)\left( n-k \right)}=\dfrac{2}{k\left( n-k \right)}\Leftrightarrow {{\left( n-2k \right)}^{2}}=n+2$
Do $n<20\Rightarrow n+2<22$ mà $n+2$ là số chính phương, $n,k$ nguyên dương nên có các trường hợp sau:
$+ n+2=4\Rightarrow n=2;k=2.$
$+ n+2=0\Rightarrow n=7;k=2$ hoặc $n=7;k=5.$
$+ n+2=16\Rightarrow n=14;k=5$ hoặc $n=14;k=9.$
Mà $k+1\le n$ nên chỉ có 4 bộ thoả mãn.
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{k\left( k+1 \right)}+\dfrac{1}{\left( n-k+1 \right)\left( n-k \right)}=\dfrac{2}{k\left( n-k \right)}\Leftrightarrow {{\left( n-2k \right)}^{2}}=n+2$
Do $n<20\Rightarrow n+2<22$ mà $n+2$ là số chính phương, $n,k$ nguyên dương nên có các trường hợp sau:
$+ n+2=4\Rightarrow n=2;k=2.$
$+ n+2=0\Rightarrow n=7;k=2$ hoặc $n=7;k=5.$
$+ n+2=16\Rightarrow n=14;k=5$ hoặc $n=14;k=9.$
Mà $k+1\le n$ nên chỉ có 4 bộ thoả mãn.
Đáp án A.