Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực $(x;y;z)$ thỏa...

Hệ phương trình đã cho tương đương
$\{\begin{array}{rl}& 2^{\sqrt[3]{x^2}}{.4}^{\sqrt[3]{y^2}}{.16}^{\sqrt[3]{z^2}}=128\\ & {(x{y}^2+z^4)}^2-{(x{y}^2-z^4)}^2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& \sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2}=7\\ & x{y}^2{z}^4=1\end{array}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có
$7=\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{y^2}+4\sqrt[3]{z^2}$
$=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}+\sqrt[3]{z^2}$
$\ge 7\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}.{\left(\sqrt[3]{y^2}\right)}^2.{\left(\sqrt[3]{z^2}\right)}^4}$
$=7\sqrt[21]{{\left(x{y}^2{z}^4\right)}^2}$
$=7.$
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương
$\{\begin{array}{rl}& x^2=y^2=z^2\\ & x{y}^2{z}^4=1\end{array}.$
Dễ thấy $x>0$ và từ phương trình thứ hai ta có $x^7=1$ hay $x=1.$ Suy ra $y=\pm 1,z=\pm 1.$
Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là $(1;1;1),(1;1;-1),(1;-1;-1),(1;-1;1).$