Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực $\left( x;y;z \right)$ thỏa...

Hệ phương trình đã cho tương đương
$\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}{{.4}^{\sqrt[3]{{{y}^{2}}}}}{{.16}^{\sqrt[3]{{{z}^{2}}}}}=128 \\
& {{\left( x{{y}^{2}}+{{z}^{4}} \right)}^{2}}-{{\left( x{{y}^{2}}-{{z}^{4}} \right)}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}=7 \\
& x{{y}^{2}}{{z}^{4}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có
$7=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}$
$=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}$
$\ge 7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}.{{\left( \sqrt[3]{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}.{{\left( \sqrt[3]{{{z}^{2}}} \right)}^{4}}}$
$=7\sqrt[21]{{{\left( x{{y}^{2}}{{z}^{4}} \right)}^{2}}}$
$=7.$
Do đó hệ phương trình đã cho tương đương
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}={{y}^{2}}={{z}^{2}} \\
& x{{y}^{2}}{{z}^{4}}=1 \\
\end{aligned} \right..$
Dễ thấy $x>0$ và từ phương trình thứ hai ta có ${{x}^{7}}=1$ hay $x=1.$ Suy ra $y=\pm 1,z=\pm 1.$
Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là $\left( 1;1;1 \right),\left( 1;1;-1 \right),\left( 1;-1;-1 \right),\left( 1;-1;1 \right).$