Google
Câu hỏi: Có mấy giá trị nguyên dương của $m$ để bất phương trình ${{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}}$ có nghiệm?
A. $1$.
B. $10$.
C. Vô số.
D. $9$.
A. $1$.
B. $10$.
C. Vô số.
D. $9$.
Từ giả thiết, ta chỉ xét $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
Ta có: ${{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m \left( 1 \right)$
Có ${{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge 2\sqrt{{{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}}=2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}$.
Do đó nếu có ${{x}_{0}}$ là nghiệm của bất phương trình $2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m$
thì ${{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của ${{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m$.
Ta xét các giá trị $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ làm cho bất phương trình $2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m \left( 2 \right)$ có nghiệm.
Vì $2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge \dfrac{m}{2}$, $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}x\ge {{\log }_{\dfrac{6}{5}}}\left( \dfrac{m}{2} \right)$ $\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{{{m}^{2}}}{{\log }_{\dfrac{6}{5}}}\left( \dfrac{m}{2} \right)$, với $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Vậy với $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thì bất phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm tương ứng là $x\ge \dfrac{1}{{{m}^{2}}}{{\log }_{\dfrac{6}{5}}}\left( \dfrac{m}{2} \right)$.
Suy ra có vô số giá trị $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ làm cho bất phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm.
Ta có: ${{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m \left( 1 \right)$
Có ${{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge 2\sqrt{{{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}.{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}}=2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}$.
Do đó nếu có ${{x}_{0}}$ là nghiệm của bất phương trình $2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m$
thì ${{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của ${{\left( \dfrac{9}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m$.
Ta xét các giá trị $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ làm cho bất phương trình $2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m \left( 2 \right)$ có nghiệm.
Vì $2{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge m$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{{{m}^{2}}x}}\ge \dfrac{m}{2}$, $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}x\ge {{\log }_{\dfrac{6}{5}}}\left( \dfrac{m}{2} \right)$ $\Leftrightarrow x\ge \dfrac{1}{{{m}^{2}}}{{\log }_{\dfrac{6}{5}}}\left( \dfrac{m}{2} \right)$, với $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Vậy với $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thì bất phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm tương ứng là $x\ge \dfrac{1}{{{m}^{2}}}{{\log }_{\dfrac{6}{5}}}\left( \dfrac{m}{2} \right)$.
Suy ra có vô số giá trị $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ làm cho bất phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm.
Đáp án C.