Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1$ song song với đường thẳng $y=6\text{x}+4$ ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Gọi phương trình tiếp tuyến có dạng $y-{{y}_{0}}={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)$ với $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tiếp điểm.
Ta có: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}+1$. Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1$ song song với đường thẳng $y=6\text{x}+4$ nên ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=6\Leftrightarrow 3\text{x}_{0}^{2}-2{{\text{x}}_{0}}+1=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=\dfrac{5}{3} \\
& {{x}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{x}_{0}}=\dfrac{5}{3}$, suy ra ${{y}_{0}}=\dfrac{122}{27}$. Với ${{x}_{0}}=-1$, suy ra ${{y}_{0}}=-2$.
Ta được hai tiếp điểm ${{M}_{1}}\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{122}{27} \right)$ và ${{M}_{2}}\left( -1;-2 \right)$.
Với tiếp điểm ${{M}_{1}}\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{122}{27} \right)$, ta được tiếp tuyến là đường thẳng $y-\dfrac{122}{27}=6\left( x-\dfrac{5}{3} \right)\Leftrightarrow y=6\text{x}-\dfrac{148}{27}$ (nhận).
Với tiếp điểm ${{M}_{2}}\left( -1;-2 \right)$, ta được tiếp tuyến là đường thẳng $y+2=6\left( x+1 \right)\Leftrightarrow y=6\text{x}+4$ (loại).
Ta có: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}+1$. Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+1$ song song với đường thẳng $y=6\text{x}+4$ nên ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=6\Leftrightarrow 3\text{x}_{0}^{2}-2{{\text{x}}_{0}}+1=6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=\dfrac{5}{3} \\
& {{x}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{x}_{0}}=\dfrac{5}{3}$, suy ra ${{y}_{0}}=\dfrac{122}{27}$. Với ${{x}_{0}}=-1$, suy ra ${{y}_{0}}=-2$.
Ta được hai tiếp điểm ${{M}_{1}}\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{122}{27} \right)$ và ${{M}_{2}}\left( -1;-2 \right)$.
Với tiếp điểm ${{M}_{1}}\left( \dfrac{5}{3};\dfrac{122}{27} \right)$, ta được tiếp tuyến là đường thẳng $y-\dfrac{122}{27}=6\left( x-\dfrac{5}{3} \right)\Leftrightarrow y=6\text{x}-\dfrac{148}{27}$ (nhận).
Với tiếp điểm ${{M}_{2}}\left( -1;-2 \right)$, ta được tiếp tuyến là đường thẳng $y+2=6\left( x+1 \right)\Leftrightarrow y=6\text{x}+4$ (loại).
Đáp án A.