Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{\left| z \right|}^{2}}=2\left| z+\overline{z} \right|+4$ và $\left| z-1-i \right|=\left| z-3+3i \right|$ ?
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $1$.
D. $2$.
Ta có $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trong mặt phẳng.
Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left| z \right|}^{2}}=2\left| z+\overline{z} \right|+4 \\
& \left| z-1-i \right|=\left| z-3+3i \right| \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\left| x \right|+4 \\
& x-2y-4=0 \\
\end{aligned} \right.\text{ (I)}$
Tập hợp các điểm $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\left| x \right|+4$ là đường tròn $\left( H \right)$ gồm hai cung tròn: cung tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4=0$ với $x\ge 0$ và cung tròn $\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4=0$ với $x<0$.
Suy ra tập hợp các điểm $M$ thỏa (I) là giao điểm của đường thẳng $d:x-2y-4=0$ với đường $\left( H \right)$. Vì $d$ có 3 điểm chung với đường $\left( H \right)$ nên có 3 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left| z \right|}^{2}}=2\left| z+\overline{z} \right|+4 \\
& \left| z-1-i \right|=\left| z-3+3i \right| \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\left| x \right|+4 \\
& x-2y-4=0 \\
\end{aligned} \right.\text{ (I)}$
Tập hợp các điểm $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\left| x \right|+4$ là đường tròn $\left( H \right)$ gồm hai cung tròn: cung tròn $\left( {{C}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4=0$ với $x\ge 0$ và cung tròn $\left( {{C}_{2}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-4=0$ với $x<0$.
Suy ra tập hợp các điểm $M$ thỏa (I) là giao điểm của đường thẳng $d:x-2y-4=0$ với đường $\left( H \right)$. Vì $d$ có 3 điểm chung với đường $\left( H \right)$ nên có 3 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.