Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{\left| z...

Hướng Dẫn. Đặt $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Ta có:
$\left| z-1-i \right|=\left| z-3+3i \right|\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow a=2b+4\text{ }\left( 1 \right)$
${{\left| z \right|}^{2}}=2\left| z+\overline{z} \right|+4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\left| a \right|+4\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=16\left| a \right|+16\text{ }\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra $4{{a}^{2}}+{{\left( a-4 \right)}^{2}}=16\left| a \right|+16\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-8a=16\left| a \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a\ge 0 \\
5{{a}^{2}}-24a=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\left\{ \begin{matrix}
a<0 \\
5{{a}^{2}}+8a=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 \\
a=\dfrac{24}{5} \\
a=-\dfrac{8}{5} \\
\end{matrix} \right.. $ Với$ a=0,b=-2\Rightarrow z=-2i.$
Với $a=\dfrac{24}{5},b=\dfrac{2}{5}\Rightarrow z=\dfrac{24}{5}+\dfrac{2}{5}i.$ Với $a=-\dfrac{8}{5},b=-\dfrac{14}{5}\Rightarrow z=-\dfrac{8}{5}-\dfrac{14}{5}i.$ Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn.
Cách khác:

Giả sử $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$ và M là điểm biểu diễn
cho số phức z trong mặt phẳng phức $Oxy$
Theo đề ta có:
$\left\{ \begin{matrix}
{{\left| z \right|}^{2}}=2\left| z+\overline{z} \right|+4 \\
\left| z-1-i \right|=\left| z-3+3i \right| \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4\left| x \right|-4=0\left( 1 \right) \\
x-2y-4=0\left( 2 \right) \\
\end{matrix} \right.$
Tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là hình gồm hai cung tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ như hình vẽ.
Vì d có 3 điểm chung với hình gồm hai cung tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ và $\left( {{C}_{2}} \right)$ nên có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu đề bài.