Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z \right|=\sqrt{2}$ và $\left( z-2i \right)\left( \overline{z}+i \right)$ là số thuần ảo?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 4
A. 1
B. 2
C. 0
D. 4
Gọi $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$. Ta có $\left| z \right|=10\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ (1).
Mà $\left( z-2i \right)\left( \overline{z}+i \right)=\left( x+yi-2i \right)\left( x-yi+i \right)=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3y+2 \right)-ix$ là số thuần ảo khi:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3y+2=0\Rightarrow 2-3y+2=0\Rightarrow y=\dfrac{4}{3}$.
Từ $y=\dfrac{4}{3}$ thay vào (1) ta được $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2}{9} \\
& x=-\dfrac{2}{9} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Mà $\left( z-2i \right)\left( \overline{z}+i \right)=\left( x+yi-2i \right)\left( x-yi+i \right)=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3y+2 \right)-ix$ là số thuần ảo khi:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3y+2=0\Rightarrow 2-3y+2=0\Rightarrow y=\dfrac{4}{3}$.
Từ $y=\dfrac{4}{3}$ thay vào (1) ta được $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2}{9} \\
& x=-\dfrac{2}{9} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.