Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}$...

Đặt $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R}).$
Ta có $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| a+1+\left( b-3 \right)i \right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=18 (1).$
Lại có ${{\left( z+2i \right)}^{2}}={{\left[ a+\left( b+2 \right)i \right]}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( b+2 \right)}^{2}}+2a\left( b+2 \right)i.$
Do đó ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{\left( b+2 \right)}^{2}}=0 (2)$ và $2a\left( b+2 \right)\ne 0 (3).$
Từ (2) ta được $a=b+2$ hoặc $a=-\left( b+2 \right).$
* Với $a=b+2$ thay vào (1) ta được: ${{\left( b+3 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=18\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow b=0.$
Với $b=0\Rightarrow a=2$ (thoả mãn (3)).
* Với $a=-\left( b+2 \right)$ thay vào (1) ta được:
+ Với $b=1-\sqrt{5}\Rightarrow a=\sqrt{5}-3$ (thoả mãn (3)).
+ Với $b=1+\sqrt{5}\Rightarrow a=-\sqrt{5}-3$ (thoả mãn (3)).
Vậy có 3 số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.