Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-2i \right|=2$ và...

Áp dụng các tính chất $\left| z \right|=\left| \overline{z} \right|;\overline{\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}}={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ ta có $\left| \overline{z}+4 \right|=\left| \overline{\overline{z}+4} \right|=\left| \overline{\overline{z}}+\overline{4} \right|=\left| z+4 \right|$.
Do đó $\left| \overline{z}+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\Leftrightarrow \left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn của $z$.
Do $\left| z-1-2i \right|=2$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 1;2 \right)$, bán kính $R=2$. $\left( C \right)$ có phương trình là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$.
Do $\left| z-4 \right|+\left| z+4 \right|=10$ nên $M$ thuộc đường elip $\left( E \right)$ có hai tiêu điểm là ${{F}_{1}}\left( -4;0 \right)$ $;{{F}_{2}}\left( 4;0 \right)$ và có độ dài trục lớn là $10$. $\left( E \right)$ có phương trình là $\dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1$.
Từ đây có $M$ là giao điểm của $\left( C \right)$ và $\left( E \right)$.
Từ hình vẽ của $\left( C \right)$ và $\left( E \right)$ ta thấy chúng có $2$ giao điểm nên có $2$ số phức thỏa mãn yêu cầu.