Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho ứng với mỗi y có không quá 2022 số nguyên x thỏa mãn $\left( {{\log }_{5}}x-y+5 \right)\sqrt{{{2}^{x}}-8}\le 0$ ?
A. 7
B. 5
C. 4
D. 6
A. 7
B. 5
C. 4
D. 6
Ta có $\left( {{\log }_{5}}x-y-5 \right)\sqrt{{{2}^{x}}-8}\le 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{2}^{x}}\ge 8 \\
& {{\log }_{5}}x\le y-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 3 \\
& x\le {{5}^{y-5}} \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu ${{5}^{y-5}}<3$ thì bất phương trình vô nghiệm (không thỏa mãn).
Nếu ${{5}^{y-5}}=3\Leftrightarrow y={{\log }_{5}}3+5=5,7$ thì bất phương trình có tập nghiệm $T=\left\{ 3 \right\}$ (không thỏa mãn vì y nguyên dương).
Nếu ${{5}^{y-5}}>3\Leftrightarrow y>{{\log }_{5}}3+5=5,7$, khi đó bất phương trình có tập nghiệm $T=\left[ 3;{{5}^{y-5}} \right]$.
Để mỗi giá trị y, bất phương trình có không quá 2022 nghiệm nguyên x thì ${{5}^{y-5}}\le 2024\Leftrightarrow y\le {{\log }_{5}}2024+5\approx 9,7$.
Kết hợp điều kiện y nguyên dương, $5,7<y\le 9,7$ suy ra có 4 số y thỏa mãn bài toán.
& x>0 \\
& {{2}^{x}}\ge 8 \\
& {{\log }_{5}}x\le y-5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 3 \\
& x\le {{5}^{y-5}} \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu ${{5}^{y-5}}<3$ thì bất phương trình vô nghiệm (không thỏa mãn).
Nếu ${{5}^{y-5}}=3\Leftrightarrow y={{\log }_{5}}3+5=5,7$ thì bất phương trình có tập nghiệm $T=\left\{ 3 \right\}$ (không thỏa mãn vì y nguyên dương).
Nếu ${{5}^{y-5}}>3\Leftrightarrow y>{{\log }_{5}}3+5=5,7$, khi đó bất phương trình có tập nghiệm $T=\left[ 3;{{5}^{y-5}} \right]$.
Để mỗi giá trị y, bất phương trình có không quá 2022 nghiệm nguyên x thì ${{5}^{y-5}}\le 2024\Leftrightarrow y\le {{\log }_{5}}2024+5\approx 9,7$.
Kết hợp điều kiện y nguyên dương, $5,7<y\le 9,7$ suy ra có 4 số y thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.