Có bao nhiêu số nguyên $y \in[-30 ; 30]$ sao cho ứng với mỗi $y$...

Đưa về $3^{2 x y-y+2}-3^{x^2+1} \geq \dfrac{x^2-2 x y+y-1}{\left(x^2+1\right)(2 x y-y+2)}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=2xy-y+2 \\
& b={{x}^{2}}+1(b\ge 1) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{3}^{a}}-{{3}^{b}}\ge \dfrac{b-a}{ab}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\Leftrightarrow {{3}^{a}}-\dfrac{1}{a}\ge {{3}^{b}}-\dfrac{1}{b}.(*)$
Hàm số $g(t)=3^t-\dfrac{1}{t}$ có ${g}'(t)={{3}^{t}}\ln 3+\dfrac{1}{{{t}^{2}}}>0,\forall t\ne 0$ nên đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ; 0) ;(0 ;+\infty)$
Trường hợp 1: Nếu $a>0$ thì $a,b\in (0;+\infty )$. Khi đó $(*)\Leftrightarrow g(a)\ge g(b)\Leftrightarrow a\ge b$.
Trường hợp 2: Nếu $a<0$ khi đó giả sử tồn tại các số nguyên $x,y$ thoả mãn đề bài khi đó ta cũng có $a,b\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le -1 \\
& b\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g(a)\le g(-1)=\dfrac{4}{3} \\
& g(b)\ge g(1)=2 \\
\end{aligned} \right. $. Trường hợp này không thoả mãn $ \left( * \right)$.
Vậy yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi
$a\ge b\Leftrightarrow 2xy-y+2\ge {{x}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}\le {{y}^{2}}-y+1$
$\Leftrightarrow x-y\in \left[ -\sqrt{{{y}^{2}}-y+1};\sqrt{{{y}^{2}}-y+1} \right]$.
Đoạn $\left[ -\sqrt{{{y}^{2}}-y+1};\sqrt{{{y}^{2}}-y+1} \right]$ chứa ít nhất 12 số nguyên $x$ khi và chỉ khi đoạn này chứa ít nhất 13 số nguyên là các số $-6,-5,\ldots -1,0,1,...,5,6$.
Tức là ta có $\sqrt{{{y}^{2}}-y+1}\ge 6\Rightarrow y\in \{-30,\ldots ,-6,7,\ldots ,30\}$.