Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ tồn tại $y\in...

$(y-x){\log }_2(x+y)=y+x^2\left(1\right).$
Do $y\in [2;8]\Rightarrow 2\le y+x^2\le 8\Rightarrow VP\left(1\right)>0.$
+ Nếu $\{\begin{array}{rl}& 0<x+y\le 1\\ & y-x\ge 0\\ & y\in [2;8]\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 0<x+y\le 1\\ & y\ge x\\ & y\in [2;8]\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& VT\left(1\right)\le 0\\ & VT\left(1\right)\ge 2\end{array}$ không có giá trị nào của $x$thỏa mãn.
+ Nếu $\{\begin{array}{rl}& 0<x+y\le 1\\ & y-x<0\\ & y\in [2;8]\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 0<x+y\le 1\\ & y<x\\ & y\in [2;8]\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 2y\le 1\\ & y\in [2;8]\end{array}$ không thỏa mãn.
+ Nếu $\{\begin{array}{rl}& 1<x+y\le 2\\ & y-x\ge 0\\ & y\in [2;8]\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 1<x+y\le 2\\ & y\ge x\\ & y\in [2;8]\end{array}\Rightarrow (y-x){\log }_2(x+y)\le y-x<y+x^2$ không có giá trị nào của $x$thỏa mãn.
+ Nếu $\{\begin{array}{rl}& x+y>2\\ & y-x>0\\ & y\in [2;8]\end{array}.$
Đặt $f\left(y\right)=(y-x){\log }_2(x+y)-y-x^2,y\in [2;4].$
$f^{\prime }\left(y\right)={\log }_2(x+y)+{\displaystyle \frac{(y-x)}{(x+y)\ln 2}}-1>0$
Do $\{\begin{array}{rl}& x+y>2\\ & y\in [2;8]\end{array}\Rightarrow {\log }_2(x+y)>1\Rightarrow o{g}_2(x+y)-1+{\displaystyle \frac{(y-x)}{(x+y)\ln 2}}>0.$
Do hàm số đồng biến. để phuong trình $f\left(y\right)=0$ có nghiệm khi
$\{\begin{array}{rl}& f\left(2\right)\le 0\\ & f\left(8\right)\ge 0\\ & x<y\\ & y\in [2;8]\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& (2-x){\log }_2(x+2)-2-x^2\le 0\\ & (8-x){\log }_2(x+8)-8-x^2\ge 0\\ & x<y\\ & y\in [2;8]\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& (2-x){\log }_2(x+2)\le 2+x^2\\ & (8-x){\log }_2(x+8)\ge 2+x^2\\ & -2<x<y,x\in \mathbb{Z}\\ & y\in [2;8]\end{array}.$
$\{\begin{array}{rl}& (2-x){\log }_2(x+2)\le 2+x^2\\ & (8-x){\log }_2(x+8)\ge 2+x^2\\ & x\in \{-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\end{array}\Rightarrow x=-1,x=0,x=1,x=2,x=3.$
Vậy có 5 giá trị nguyên thỏa mãn.