Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 63...

${\log }_5(x^2+y)\ge {\log }_4(x+y)$
Điều kiện $\{\begin{array}{rl}& x^2+y>0\\ & x+y>0\\ & x,y\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x+y\ge 1\\ & x,y\in \mathbb{Z}\end{array}$
Đặt $t=x+y(t\in \mathbb{Z},t\ge 1)$ ta có ${\log }_5(x^2+y)\ge {\log }_4(x+y)$ $\iff {\log }_5(x^2-x+t)-{\log }_{4}t\ge 0\left(1\right)$
Do mỗi $y$ tương ứng với một và chỉ một $t$ nên ứng với mỗi $x$ có không quá 63 số nguyên
$y$ thỏa mãn ${\log }_5(x^2+y)\ge {\log }_4(x+y)$ khi và chỉ khi ứng với mỗi $x$ có không quá 63 số
nguyên $t\ge 1$ thỏa mãn (1)
Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_5(x^2-x+t)-{\log }_{4}t$ có tập xác định $D=[1;+\mathrm{\infty })$
Ta có : $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{(x^2-x+t)\ln 5}}-{\displaystyle \frac{1}{t\ln 4}}<0\mathrm{\forall }x\in D(x^2-x+t>t,\ln 5>\ln 4)$ nên hàm số $f\left(t\right)$
nghịch biến trên $D$ Suy ra $f\left(1\right)>f\left(2\right)>...>f\left(63\right)>f\left(64\right)>.....$
Vì ứng với mỗi số nguyên $x$ có không có quá 63số nghiệm $t$ thỏa mãn (1) nên $f\left(64\right)<0$
$\iff {\log }_5(x^2-x+64)-{\log }_{4}64<0$ $\iff {\log }_5(x^2-x+64)<3\iff x^2-x+64<5^3$
$\iff x^2-x-61<0$ $\iff {\displaystyle \frac{1-7\sqrt{5}}{2}}<x<{\displaystyle \frac{1+7\sqrt{5}}{2}}$
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-7;-6;.....;8\}$, do đó có $8-(-7)+1=16$ số nguyên $x$ thỏa mãn bài toán.