Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 63...

${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)$
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x+y>0 \\
& x,y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y\ge 1 \\
& x,y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t=x+y\left( t\in \mathbb{Z},t\ge 1 \right)$ ta có ${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+t \right)-{{\log }_{4}}t\ge 0 \left( 1 \right)$
Do mỗi $y$ tương ứng với một và chỉ một $t$ nên ứng với mỗi $x$ có không quá 63 số nguyên
$y$ thỏa mãn ${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)$ khi và chỉ khi ứng với mỗi $x$ có không quá 63 số
nguyên $t\ge 1$ thỏa mãn (1)
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+t \right)-{{\log }_{4}}t$ có tập xác định $D=\left[ 1 ; +\infty \right)$
Ta có : ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( {{x}^{2}}-x+t \right)\ln 5}-\dfrac{1}{t\ln 4}<0 \forall x\in D\left( {{x}^{2}}-x+t>t,\ln 5>\ln 4 \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$
nghịch biến trên $D$ Suy ra $f\left( 1 \right)>f\left( 2 \right)>...>f\left( 63 \right)>f\left( 64 \right)>.....$
Vì ứng với mỗi số nguyên $x$ có không có quá 63số nghiệm $t$ thỏa mãn (1) nên $f\left( 64 \right)<0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+64 \right)-{{\log }_{4}}64<0$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+64 \right)<3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+64<{{5}^{3}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-61<0$ $\Leftrightarrow \dfrac{1-7\sqrt{5}}{2}<x<\dfrac{1+7\sqrt{5}}{2}$
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -7;-6;.....;8 \right\}$, do đó có $8-\left( -7 \right)+1=16$ số nguyên $x$ thỏa mãn bài toán.