Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá 2...

Bất phương trình tương đương ${{4}^{{{x}^{2}}-5y+16}}+{{2}^{-x-y}}-512\ge 0$.
Xét hàm số $f\left( y \right)={{4}^{{{x}^{2}}-5y+16}}+{{2}^{-x-y}}-512,y\in \left( -x;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( y \right)=-{{5.4}^{{{x}^{2}}-5y+16}}-{{2}^{-x-y}}<0,\ \forall y\in \left( -x;+\infty \right)$
Do đó hàm số nghịch biến trên $\left( -x;+\infty \right)$.
Nhận xét: $f\left( -x+1 \right)={{4}^{{{x}^{2}}+5x+11}}-{{2}^{-1}}-512>0\ $.
Do đó $y=-x+1$ là nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình đã cho.
Do đó yêu cầu bài toán tương đương $f\left( -x+3 \right)<0$
$\Leftrightarrow {{4}^{{{x}^{2}}+5x+1}}+{{2}^{-3}}<512\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+1<{{\log }_{4}}\left( 512-{{2}^{-3}} \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+1-{{\log }_{4}}\left( 512-{{2}^{-3}} \right)<0$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{-5-\sqrt{21+4{{\log }_{4}}\left( 512-{{2}^{-3}} \right)}}{2}<x<\dfrac{-5+\sqrt{21+4{{\log }_{4}}\left( 512-{{2}^{-3}} \right)}}{2} \\
& \Rightarrow -5.6<x<0.65 \\
\end{aligned}$
Do $x$ nguyên nên $x\in \left\{ -5,\ -4,-3,-2,-1,0 \right\}.$
Vậy có 6 giá trị $x$ nguyên.