Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thỏa mãn ${{3}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}={{4}^{x+y}}?$
A. Vô số.
B. $5$.
C. $2$.
D. $1$.
A. Vô số.
B. $5$.
C. $2$.
D. $1$.
$\begin{aligned}
& {{3}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}={{4}^{x+y}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\log }_{3}}{{4}^{x+y}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=(x+y){{\log }_{3}}4 \\
& \Leftrightarrow {{y}^{2}}-y{{\log }_{3}}4+{{x}^{2}}-x{{\log }_{3}}4=0,\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Ta xem phương trình $\left( * \right)$ là phương trình ẩn $y$, tham số $x$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thực $y$ $\Leftrightarrow \Delta \ge 0\Leftrightarrow {{\left( -{{\log }_{3}}4 \right)}^{2}}-4({{x}^{2}}-x{{\log }_{3}}4)\ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(1-\sqrt{2}){{\log }_{3}}4}{2}\le x\le \dfrac{(1+\sqrt{2}){{\log }_{3}}4}{2}$, $\left( {{*}'} \right)$.
Do đó có hai số nguyên $x=0$ và $x=1$ thỏa yêu cầu bài toán.
& {{3}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}={{4}^{x+y}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\log }_{3}}{{4}^{x+y}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=(x+y){{\log }_{3}}4 \\
& \Leftrightarrow {{y}^{2}}-y{{\log }_{3}}4+{{x}^{2}}-x{{\log }_{3}}4=0,\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Ta xem phương trình $\left( * \right)$ là phương trình ẩn $y$, tham số $x$.
Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thực $y$ $\Leftrightarrow \Delta \ge 0\Leftrightarrow {{\left( -{{\log }_{3}}4 \right)}^{2}}-4({{x}^{2}}-x{{\log }_{3}}4)\ge 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{(1-\sqrt{2}){{\log }_{3}}4}{2}\le x\le \dfrac{(1+\sqrt{2}){{\log }_{3}}4}{2}$, $\left( {{*}'} \right)$.
Do đó có hai số nguyên $x=0$ và $x=1$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.