Có bao nhiêu số nguyên M thuộc khoảng $\left( -10;10 \right)$ để...

Xét hàm số trên .
Ta có: . Khi đó .
Chú ý: Đồ thị hàm số được suy ra thừ đồ thị hàm số bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên Ox.
- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị nằm dưới Ox.
Để hàm số đồng biến trên thì có 2 trường hợp cần xét:
Cách 1:
TH1: Hàm số luôn đồng biến và không âm trên


Vì .
TH2: Hàm số luôn nghịch biến và không dương trên
(không tồn tại m).
Vậy có tất cả 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
TH1: .
Suy ra .
Vậy yêu cầu bài toán .
Vì .
Ta có 10 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán (1).
TH2: .
Suy ra có 2 nghiệm phân biệt
Ta có bảng biến thiên:

Vậy yêu cầu bài toán .
Vì .
Ta có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán (2).
Từ (1) và (2) suy ra: có tất cả có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.