Có bao nhiêu số nguyên M thuộc khoảng $\left( -10;10 \right)$ để...

Xét hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-2mx+3$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-2m=0$. Khi đó ${\Delta }'=12m$.
Chú ý: Đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|=\left| 2{{x}^{3}}-2mx+3 \right|$ được suy ra thừ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị $\left( C \right)$ nằm trên Ox.
- Lấy đối xứng phần đồ thị $\left( C \right)$ nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị $\left( C \right)$ nằm dưới Ox.
Để hàm số $y=\left| 2{{x}^{3}}-2mx+3 \right|$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ thì có 2 trường hợp cần xét:
Cách 1:
TH1: Hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-2mx+3$ luôn đồng biến và không âm trên $\left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& f\left( 1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6{{x}^{2}}-2m\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& {{2.1}^{3}}-2m.1+3\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} 3{{x}^{2}} \\
& m\le \dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 3 \\
& m\le \dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\le \dfrac{5}{2}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left( -10;10 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2 \right\}$.
TH2: Hàm số $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-2mx+3$ luôn nghịch biến và không dương trên $\left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& f\left( 1 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6{{x}^{2}}-2m\le 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right) \\
& {{2.1}^{3}}+2m.1+3\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\max }} 3{{x}^{2}} \\
& m\ge \dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$ (không tồn tại m).
Vậy có tất cả 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
TH1: ${\Delta }'\le 0\Leftrightarrow m\le 0$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)$.
Vậy yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& f\left( 1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& 5-2m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\le \dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 0$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left( -10;10 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0 \right\}$.
Ta có 10 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán (1).
TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>0$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)$
Ta có bảng biến thiên:

Vậy yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\
& f\left( 1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& -\dfrac{2m}{6}+1\ge 0 \\
& 5-2m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0<m\le \dfrac{5}{2}$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left( -10;10 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\}$.
Ta có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán (2).
Từ (1) và (2) suy ra: có tất cả có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.