Có bao nhiêu số nguyên M thuộc khoảng $(-10;10)$ để...

Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^3-2mx+3$ trên $(1;+\mathrm{\infty })$.
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2-2m=0$. Khi đó ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=12m$.
Chú ý: Đồ thị hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|=|2x^3-2mx+3|$ được suy ra thừ đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)\left(C\right)$ bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị $\left(C\right)$ nằm trên Ox.
- Lấy đối xứng phần đồ thị $\left(C\right)$ nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị $\left(C\right)$ nằm dưới Ox.
Để hàm số $y=|2x^3-2mx+3|$ đồng biến trên $(1;+\mathrm{\infty })$ thì có 2 trường hợp cần xét:
Cách 1:
TH1: Hàm số $f\left(x\right)=2x^3-2mx+3$ luôn đồng biến và không âm trên $(1;+\mathrm{\infty })$
$\iff \{\begin{array}{rl}& f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })\\ & f\left(1\right)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 6x^2-2m\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })\\ & {2.1}^3-2m.1+3\ge 0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& m\le \underset{(1;+\mathrm{\infty })}{min}3x^2\\ & m\le {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 3\\ & m\le {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\Rightarrow m\le {\displaystyle \frac{5}{2}}$
Vì $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in (-10;10)\end{array}\Rightarrow m\in \{-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2\}$.
TH2: Hàm số $f\left(x\right)=2x^3-2mx+3$ luôn nghịch biến và không dương trên $(1;+\mathrm{\infty })$
$\iff \{\begin{array}{rl}& f^{\prime }\left(x\right)\le 0,\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })\\ & f\left(1\right)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 6x^2-2m\le 0,\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })\\ & {2.1}^3+2m.1+3\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\ge \underset{(1;+\mathrm{\infty })}{max}3x^2\\ & m\ge {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$ (không tồn tại m).
Vậy có tất cả 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
TH1: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\iff m\le 0$.
Suy ra $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in (1;+\mathrm{\infty })$.
Vậy yêu cầu bài toán $\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 0\\ & f\left(1\right)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 0\\ & 5-2m\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 0\\ & m\le {\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\iff m\le 0$.
Vì $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in (-10;10)\end{array}\Rightarrow m\in \{-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0\}$.
Ta có 10 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán (1).
TH2: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff m>0$.
Suy ra $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2(x_1<x_2)$
Ta có bảng biến thiên:

Vậy yêu cầu bài toán $\iff \{\begin{array}{rl}& m>0\\ & x_1<x_2\le 1\\ & f\left(1\right)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m>0\\ & -{\displaystyle \frac{2m}{6}}+1\ge 0\\ & 5-2m\ge 0\end{array}\iff 0<m\le {\displaystyle \frac{5}{2}}$.
Vì $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in (-10;10)\end{array}\Rightarrow m\in \{1;2\}$.
Ta có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán (2).
Từ (1) và (2) suy ra: có tất cả có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.