Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left[ 2;2022 \right]$ để tồn tại hai...

Đặt $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{\log }_{2}}x=t \\
{{\log }_{3}}y=\dfrac{1}{t} \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{r}}
x={{2}^{t}} \\
y={{3}^{\dfrac{1}{t}}} \\
\end{array}\Rightarrow m=g\left( t \right)={{4}^{t}}+{{27}^{\dfrac{1}{t}}} \right. \right.$.
Ta có ${g}'\left( t \right)={{4}^{t}}\ln 4-\dfrac{1}{{{t}^{2}}}{{27}^{\dfrac{1}{t}}}\ln 27$.
${{g}'}'\left( t \right)={{4}^{t}}{{\ln }^{2}}4+\dfrac{2}{{{t}^{3}}}{{27}^{\dfrac{1}{t}}}\ln 27+\dfrac{1}{{{t}^{4}}}{{27}^{\dfrac{1}{t}}}{{\ln }^{2}}27>0,\forall t>0$
Nếu $t<0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}0<x<1 \\ 0<y<1\end{array} \Rightarrow x^{2}+y^{3}<1+1=2 \leq m\right.$ (loại).
Nếu $t>0\Rightarrow {g}'\left( t \right)=0$ có đúng một nghiệm $t={{t}_{0}}\approx 1,5419$ ; $t=t_{0} \approx 1,5419 ; g\left(t_{0}\right) \approx 16,9568$.
Suy ra $m\in \left\{ 17,\ldots ,2022 \right\}$. Vậy có 2006 số nguyên thỏa mãn