Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left( -10;10 \right)$ để phương trình ${{3}^{x}}=6{{\log }_{3}}\left( 6x-m \right)-m$ có nghiệm thực?
A. 9.
B. 14.
C. 17.
D. 6.
A. 9.
B. 14.
C. 17.
D. 6.
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( 6x-m \right)\Leftrightarrow 6x-m={3}'\Leftrightarrow m=6x-{3}'.$
Khi đó phương trình trở thành ${{3}^{x}}=6t-6x+{3}'\Leftrightarrow {{3}^{x}}+6x={3}'+6t.\left( 1 \right)$
Mà hàm $f\left( u \right)={{3}^{u}}+6u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x=t.$
Khi đó ta có phương trình $6x-{{3}^{x}}=m$. Xét hàm số $f\left( x \right)=6x-{{3}^{x}};\text{x}\in \mathbb{R}.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=6-{{3}^{x}}\ln 3\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\dfrac{6}{\ln 3}={{x}_{0}}$. Ta có bảng biển thiên như sau
Từ BBT ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$m\le y\left( {{x}_{0}} \right)=6{{\log }_{3}}\dfrac{6}{\ln 3}-{{3}^{{{\log }_{3}}\dfrac{6}{\ln 3}}}\approx 3,8.$
Mà $m\in \left( -10;10 \right);m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;...;3 \right\}.$
Khi đó phương trình trở thành ${{3}^{x}}=6t-6x+{3}'\Leftrightarrow {{3}^{x}}+6x={3}'+6t.\left( 1 \right)$
Mà hàm $f\left( u \right)={{3}^{u}}+6u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $x=t.$
Khi đó ta có phương trình $6x-{{3}^{x}}=m$. Xét hàm số $f\left( x \right)=6x-{{3}^{x}};\text{x}\in \mathbb{R}.$
Ta có ${f}'\left( x \right)=6-{{3}^{x}}\ln 3\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\dfrac{6}{\ln 3}={{x}_{0}}$. Ta có bảng biển thiên như sau
$m\le y\left( {{x}_{0}} \right)=6{{\log }_{3}}\dfrac{6}{\ln 3}-{{3}^{{{\log }_{3}}\dfrac{6}{\ln 3}}}\approx 3,8.$
Mà $m\in \left( -10;10 \right);m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -9;-8;...;3 \right\}.$
Đáp án B.