Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $4{{\left( 4{{\sin...

Phương trình $4{{\left( 4{{\sin }^{3}}x-m \right)}^{3}}=\sin x+m$
Điều kiện xác định: $D=\mathbb{R}$
Đặt $t=4{{\sin }^{3}}x-m\Rightarrow m=4{{\sin }^{3}}x-t$
Phương trình trở thành: $4{{t}^{3}}=\sin x+4{{\sin }^{3}}x-t\Leftrightarrow 4{{t}^{3}}+t=4{{\sin }^{3}}x+\sin x.$
Xét hàm đặc trưng: $f\left( a \right)={{a}^{3}}+a,\left( a\in \mathbb{R} \right).$
Ta có ${f}'\left( a \right)=3{{a}^{2}}+1>0,\forall a\in \mathbb{R}.$
Hàm số $f\left( a \right)={{a}^{3}}+a$ đồng biến trên $\mathbb{R},$ khi đó
$f\left( t \right)=f\left( \sin x \right)\Leftrightarrow t=\sin x\Leftrightarrow 4{{\sin }^{3}}x-m=\sin x.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow 4{{\sin }^{3}}x-m=\sin x \left( * \right)$ có nghiệm .
Đặt $b=\sin x,\left( b\in \left[ -1;1 \right] \right).$
(*) trở thành $m=4{{b}^{3}}-b$ có nghiệm $\left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{min}} f\left( b \right)\le m\le \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{max}} f\left( b \right)$
Xét hàm số $f\left( b \right)=4{{b}^{3}}-b$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right].$
Ta có ${f}'\left( b \right)=12{{b}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\in \left( -1;1 \right) \\
& b=-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\in \left( -1;1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
$f\left( -1 \right)=-3,f\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{6} \right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},f\left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},f\left( 1 \right)=3.$
Vây $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& -3\le m\le 3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3 \right\}$ có 7 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.