Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+4$ có hai điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -3;3 \right).$
A. $12$.
B. $11$.
C. $13$.
D. $10$.
A. $12$.
B. $11$.
C. $13$.
D. $10$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x-m$
Hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -3;3 \right)$ khi và chỉ khi phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -3;3 \right)$.
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -3;3 \right)$.
$\Leftrightarrow m=3{{x}^{2}}-6x$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -3;3 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=6x-6$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có $-3<m<9$.
Vậy $m\in \left\{ -2;-1;0;...;8 \right\}$.
Hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -3;3 \right)$ khi và chỉ khi phương trình ${y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -3;3 \right)$.
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -3;3 \right)$.
$\Leftrightarrow m=3{{x}^{2}}-6x$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -3;3 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=6x-6$ ; ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có $-3<m<9$.
Vậy $m\in \left\{ -2;-1;0;...;8 \right\}$.
Đáp án B.