Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-x+4$ nghịch biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)?$
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 3.
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 3.
Xét $m=1$ thì $y=-x+4$ (thoả mãn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ). Xét $m\ne 1,$ ta có:
${f}'\left( x \right)=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-1$
${f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-1<0 \\
& \Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}<1 \\
& 2{{m}^{2}}-m-1<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<m<1 \\
& m>\dfrac{-2}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}<m<1.$
Mà $m$ là số nguyên nên $m=0$ hoặc $m=1.$
${f}'\left( x \right)=3\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-1$
${f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-1<0 \\
& \Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}<1 \\
& 2{{m}^{2}}-m-1<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<m<1 \\
& m>\dfrac{-2}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}<m<1.$
Mà $m$ là số nguyên nên $m=0$ hoặc $m=1.$
Đáp án A.