Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m<10$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)?$
A. 13.
B. 6.
C. 7.
D. 3.
A. 13.
B. 6.
C. 7.
D. 3.
Hàm số $y={{e}^{{{x}^{3}}-mx-\dfrac{3}{x}}}$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
Ta có ${y}'=\left( 3{{x}^{2}}-m+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{{{x}^{3}}-mx-\dfrac{3}{x}}}$
Yêu cầu bài toán
$\begin{aligned}
& {y}'=\left( 3{{x}^{2}}-m+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{{{x}^{3}}-mx-\dfrac{3}{x}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-m+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& 3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}\ge m,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{min}} \left( 3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right)\ge m\Leftrightarrow m\le 6. \\
\end{aligned}$
(Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số $3{{x}^{2}},\dfrac{3}{{{x}^{2}}}$ không âm ta có $3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{3{{x}^{2}}.\dfrac{3}{{{x}^{2}}}}=6\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{min}} \left( 3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right)=6$ ).
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\le 6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$ Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
Ta có ${y}'=\left( 3{{x}^{2}}-m+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{{{x}^{3}}-mx-\dfrac{3}{x}}}$
Yêu cầu bài toán
$\begin{aligned}
& {y}'=\left( 3{{x}^{2}}-m+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{{{x}^{3}}-mx-\dfrac{3}{x}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-m+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& 3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}\ge m,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{min}} \left( 3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right)\ge m\Leftrightarrow m\le 6. \\
\end{aligned}$
(Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số $3{{x}^{2}},\dfrac{3}{{{x}^{2}}}$ không âm ta có $3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{3{{x}^{2}}.\dfrac{3}{{{x}^{2}}}}=6\Rightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{min}} \left( 3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}} \right)=6$ ).
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m\le 6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.$ Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án B.